Question

（1997•山西）如圖，四邊形AODB是邊長(zhǎng)為2的正方形，C為BD中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OD所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，使D、A分別在x軸、y軸的正半軸上．
（1）求直線AC的解析式；
（2）若EC⊥AC于C，交x軸于點(diǎn)E，連接AE，求直線AE的解析式；
（3）求證：∠BAC=∠CAE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），列出關(guān)于k、b的方程組，通過(guò)解方程組來(lái)求k、b的值；
（2）通過(guò)相似三角形（△ABC∽△CDE）的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

AB

CD

=

BC

DE

，由該比例式可以求得線段DE的長(zhǎng)度，則易求點(diǎn)E的坐標(biāo)，所以理應(yīng)待定系數(shù)法可以求得直線AE的解析式；
（3）首先，根據(jù)直線AC的解析式求得點(diǎn)F的坐標(biāo)F（4，0），則OF=4．然后，根據(jù)勾股定理、線段間的和差關(guān)系求得AE=EF；最后，由等腰△AEF的性質(zhì)推知∠1=∠3，平行線AB∥OF的性質(zhì)推知∠2=∠3，等量代換證得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意知A（0，2），C（2，1），設(shè)直線AC為y=kx+b（k≠0）．則

2=b 1=2k+b

，
解得，

k=- 1 2 b=2

，
∴直線AC的解析式為：y=-

1

2

x+2；

（2）設(shè)直線AE的解析式為：y=ax+t（a≠0）．
∵如圖，EC⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠CED（同角的余角相等）．
又∵∠B=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
∴

AB

CD

=

BC

DE

，即

2

1

=

1

DE

，∴DE=

1

2

，則E（

3

2

，0）．
又∵A（0，2），
∴

0= 3 2 a+t 2=t

，
解得，

a=- 4 3 t=2

，
∴直線AE的解析式是y=-

4

3

x+2；

（3）證明：如圖，設(shè)直線AC交x軸與F．
∵由（1）知，直線AC的解析式為y=-

1

2

x+2，則F（4，0）．∴OF=4．
又∵A（0，2），E（

3

2

，0），
∴AE=EC=

5

2

，
∵EC⊥AC，
∴AE=EF，
∴∠1=∠3．
又∵AB∥OF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即∠BAC=∠CAE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，也可以利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明．