Question

某市為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，全面實(shí)施“學(xué)生飲用奶”營(yíng)養(yǎng)工程．某品牌牛奶供應(yīng)商提供了原味、草莓味、菠蘿味、香橙味、核桃味五種口味的牛奶提供學(xué)生飲用．浠馬中學(xué)為了了解學(xué)生對(duì)不同口味牛奶的喜好，對(duì)全校訂購(gòu)牛奶的學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查（2014•海淀區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點(diǎn)，DF⊥AC于F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若cosC=，CF=9，求AE的長(zhǎng)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定．

【分析】（1）連接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）求出CD、DF，推出四邊形DMEF和四邊形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．

【解答】解：（1）連接OD，AD，

∵AB是⊙的直徑，

∴∠ADB=90°，

又∵AB=AC，

∴BD=CD

又∵OB=OA，

∴OD∥AC

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF

又∵OD為⊙的半徑，

∴DF為⊙O的切線．

 

（2）連接BE交OD于M，過O作ON⊥AE于N，

則AE=2NE，

∵cosC=，CF=9，

∴DC=15，

∴DF==12，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠CEB=90°，

∵DF⊥AC，OD⊥DF，

∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°，

∴四邊形DMEF是矩形，

∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF，

即OD⊥BE，

同理四邊形OMEN是矩形，

∴OM=EN，

∵OD為半徑，

∴BE=2EM=24，

∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，

∴△CFD∽△CEB，

∴=，

∴=，

∴EF=9=DM，

設(shè)⊙O的半徑為R，

則在Rt△EMO中，由勾股定理得：R²=12²+（R﹣9）²，

解得：R=，

則EN=OM=﹣9==，

∴AE=2EN=7．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，切線的判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．