Question

如圖已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=6，CD=10，P是線段AB上的一個動點，設PB=x，△PCD的面積為y，
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．
（2）求當x為何值時，△APD∽△BPC．
（3）求當x為何值時，PC平分∠BCD．

Answer 1

分析：（1）過D作DE⊥BC于E，利用直角梯形的性質和勾股數(shù)易得到EC=6，而y=S_梯形ABCD-S_△PAD-S_△PBC，然后利用梯形和三角形的面積公式計算即可y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)三角形相似的判定定理得到當AP：BP=AD：BC時，Rt△APD∽Rt△BPC，即（8-x）：x=6：12，即可求出x的值；
（3）過P作PH⊥DC于H，根據(jù)角平分線的判定定理得到當PH=PB時，PC平分∠BCD，則PH=x，得到△PCD的面積為y=

1

2

PH•DC=

1

2

•x•10=5x，然后和（1）中的結論建立方程關于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）過D作DE⊥BC于E，如圖，
∵AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=6，
∴BE=AD=6，DE=AB=8，
在Rt△DEC中，DC=10，
∴EC=6，
∴BC=6+6=12，
而PB=x，則PA=8-x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△PAD-S_△PBC=

1

2

•（6+12）•8-

1

2

•6•（8-x）-

1

2

•x•12=-3x+48（0≤x≤8）；

（2）當AP：BP=AD：BC時，Rt△APD∽Rt△BPC，
∴（8-x）：x=6：12，
解得x=

16

3

．
∴當x為

16

3

時，△APD∽△BPC；

（3）過P作PH⊥DC于H，如圖，
當PH=PB時，PC平分∠BCD，
∴PH=x，
∴y=

1

2

PH•DC=

1

2

•x•10=5x，
而y=-3x+48（0≤x≤8），
∴5x=-3x+48，
解得x=6．
∴當x為6時，PC平分∠BCD．

點評：本題考查了三角形相似的判定定理：有兩組對應邊的比相等，且它們的夾角也對應相等，則這兩個三角形相似．也考查了直角梯形的性質、角平分線的判定以及梯形與三角形的面積公式．