Question

在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是邊AD，AB，BC的中點，點H是直線BC上一點．將線段FH繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90º，得到線段FK，連接EK．

（1）如圖1，求證：EF＝FG，且EF⊥FG；

（2）如圖2，若點H在線段BC的延長線上，猜想線段BH，EF，EK之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）若點H在線段BC的反向延長線上，請在圖3中補全圖形并直接寫出線段BH，EF，EK之間滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

（1）見解析；（2）BH＝EF＋EK；（3）BH＝EK－EF.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意得帶△AEF和△BGF全等，從而得出∠AFE=∠BFG=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠EFG=90°；（2）將線段FH繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90º，得到線段FK，F(xiàn)H＝FK，∠HFK＝90°，根據(jù)直角的性質(zhì)得到∠KFE＝∠HFG從而說明△EFK和△GFH全等，則EK=GH，根據(jù)△BFG為等腰直角三角形得到BG=FG，則BH=BG+GH=FG＋EK＝EF＋EK；（3）根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)（2）的方法求出結(jié)論.

試題解析：（1）證明：∵正方形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，AB，BC的中點，

∴AE＝AF＝FB＝BG，∠A＝∠B＝90°，∴△AEF≌△BGF，

∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°， ∴∠EFG＝180°－∠AFE－∠BFG＝90°，即EF⊥FG．

（2）BH＝EF＋EK；

證明：將線段FH繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90º，得到線段FK，∴FH＝FK，∠HFK＝90°，∴∠KFE＋∠EFH＝90°，

∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠EFH＝90°，∴∠KFE＝∠HFG，

在△EFK和△GFH中，F(xiàn)K＝FH，∠KFE＝∠HFG，EF＝FG，∴△EFK≌△GFH，

∴EK＝GH．∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝FG，

∴BH＝BG＋GH＝FG＋EK＝EF＋EK，即BH＝EF＋EK．

（3）補全圖形如圖；

BH＝EK－EF．

考點：三角形全等的證明及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì).