Question

如圖，點C是⊙O的直徑AB延長線上的一點，點D是⊙O上的一點，連接AD，DO，CD，且有∠A=∠C=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線； 
（2）若半徑OB=3，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠ADO=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC=120°，即可求出∠ODC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接BD，求出等邊三角形DOB，推出BD=3，根據(jù)勾股定理求出AD即可．

解答：（1）證明：∵∠A=∠C=30°，
∴∠ADC=120°，
∵AO=OD，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠ODC=Rt∠，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；
                  
（2）解：連結DB，
∵∠A=30°，OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，
∴∠DOB=30°+30°=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等邊三角形，
∴BD=OB=OD=3，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=2OB=6，
∴AD=

AB2-DB2

=

36-9

=3

3

．

點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．