【題目】如圖所示，點
是線段
的中點，
，
.
（1）如圖1，若
，求證
是等邊三角形；
（2）如圖1，在（1）的條件下，若點
在射線上，點在點
右側，且
是等邊三角形，
的延長線交直線
于點
，求
的長度；
（3）如圖2，在（1）的條件下，若點
在線段
上，
是等邊三角形，且點沿著線段從點
運動到點，點
隨之運動，求點的運動路徑的長度.
【答案】（1）證明見解析；（2）18；（3）18.
【解析】
（1）利用垂直平分線的性質可得BA=BC，再得
，即可證明
是等邊三角形；
（2）證明
，得出
，繼而得到
，即可求得PC的長度；
（3）取BC的中點H，分兩種情況證明
，得出
或
，可知點N的運動路徑是一條線段，據此求解即可.
解：（1）∵
，
，
，
是線段
中點，，
，
是等邊三角形；
（2）∵、
是等邊三角形，
∴
，AB=BC，BD=BQ，
，
∴
，
∴，
，
，
，
，
，
；
（3）取BC的中點H，連接OH,連接CN，
分兩種情況討論：
當M在線段
上時，如圖2，
∵H是BC的中點，,
∴
,
∴
是等邊三角形,
∵
是等邊三角形,
∴
，OM=ON， 
，
∴
,
∴，
點
從起點到
作直線運動,
∵當點M在點B時，CN=BH=9,
∴點M從B運動到H時，點N運動路徑的長度等于9；
當點M在線段
上時，如圖3，
∵H是BC的中點，,
∴,
∴是等邊三角形,
∵是等邊三角形,
∴，OM=ON， ，
∴,
∴，
點從到終點作直線運動,
∵當點M在點C時，CN=CH=9,
∴點M從H運動到C時，點N運動路徑的長度等于9；
綜上所述，的路徑長度為：
.
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】小迪同學在學勾股定理時發(fā)現一類特殊三角形：在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”.
如圖1，在倍角
中，
，
、
、
的對邊分別記為
，
，
，三角形的三邊，，有什么關系呢？讓我們一起來探索……
（1）已知“倍角三角形”的一個內角為
，則這個三角形的另兩個角的度數分別為______
（2）小迪同學先從特殊的“倍角三角形”入手研究，請你結合圖2和圖3填寫下表：
三角形 | 角的已知量 |
|
|
圖2 |
| ______ | ______ |
圖3 |
| ______ |
小迪同學根據上表，提出一般性猜想：在“倍角三角形”中，，那么，，三邊滿足：______；
（3）如圖1：在倍角三角形中，
，、、的對邊分別記為，，，求證：
.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是等邊三角形，點
、
分別在
、
上，且
，
，
、
相交于點
，連接
，則下列結論：①
；②
；③
；④
，正確的結論有（ ）
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】從某校參加科普知識競賽的學生試卷中，抽取一個樣本了解競賽成績的分布情況，將樣本分成
、
、
、
、
五個組，繪制成如圖所示的頻數分布直方圖，圖中、、、、各小組的長方形的高的比是
，且組的頻數是
，請結合直方圖提供的信息，解答下列問題．
通過計算說明，樣本數據中，中位數落在哪個組？并求該小組的頻率；
估計該校在這次競賽中，成績高于
分的學生人數占參賽人數的百分比．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖：在平面直角坐標系中A(3，2)，B(4，3)，C(1，1)．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱圖形△A1B1C1；
（2）寫出A1、B1、C1的坐標分別是A1(___，___)，B1(___，___)，C1(___，___)；
（3）△ABC的面積是___．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖甲，已知在⊙O中，AB=
，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）連接BC，CD，請你判定四邊形OBCD是何種特殊的四邊形？試說明理由；
（2）若用扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑；
（3）如圖乙，若將“∠A=30°”改為“∠A=22.5°”，其余條件不變，以半徑OB、OD的中點M、N為頂點作矩形MNGH，頂點G、H在⊙O的劣弧
上，GH交OC于點E．試求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）
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