Question

已知如圖，點P是⊙O的直徑BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，連接CA，CB．
（1）求證：∠PCA=∠CBA；
（2）作CD⊥AB，垂足是D．求證：PA•PB=PD•PO．

Answer 1

證明：（1）連接OC，∵PC切⊙O于點C，∠PCO=90°
∵BA是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCA=∠OCB=∠CBA；

（2）∵∠PCA=∠CBA，且∠P是公共角，
∴△PBC∽△PCA，
∴
即PC²=PA•PB，
∵CD是直角△POC斜邊上的高，
∴△PCD∽△POC；
∴，
即PC²=PD•PO，
∴PA•PB=PD•PO．
分析：（1）線連接OC，由已知PC切⊙O于點C可推出∠PCO=90°，再由AB是直徑推出∠ACB=90°，所以∠PCA和∠CBA與∠AOC的和都是
90°通過等量代換得證；
（2）由已知通過證明△PBC∽△PCA和△PCD∽△POC得出結(jié)論；
點評：此題考查的知識點是切線的性質(zhì)和相似三角形的判定、性質(zhì)．關(guān)鍵是：
（1）由直徑、切線得出兩個直角通過等量代換得證，
（2）由已知通過證明△PBC∽△PCA和△PCD∽△POC得出結(jié)論；