Question

求出滿足以下兩個條件的最大正整數(shù)n：
（1）n²可以表示成兩個連續(xù)整數(shù)的立方之差；
（2）2n+79是完全平方數(shù)．

Answer 1

考點：完全平方數(shù)

專題：

分析：首先根據(jù)（1）n²可以表示成兩個連續(xù)整數(shù)的立方之差設(shè)（m+1）³-m³=n²，再進一步根據(jù)平方數(shù)被3除余數(shù)為0或1，和（2）中的條件探究得出答案即可．

解答：解：由已知條件可設(shè)（m+1）³-m³=n²，
化簡后可得3（2m+1）²=（2n-1）（2n+1），
由于2n-1和2n+1是兩個連續(xù)的奇數(shù)，它們互質(zhì)，因此它們其中之一是平方數(shù)，另一個數(shù)四某個平方數(shù)的3倍，若2n+1是平方數(shù)，則2n-1是某個平方數(shù)的3倍，這就說明2n+1模3余2，而這與平方數(shù)模3余0或1矛盾，因此2n-1是平方數(shù)，結(jié)合條件2，可設(shè)2n-1=p²，2n+79=q²，其中pq是正奇數(shù)．
由于80=q²-p²=（q-p）（q+p），且q-p和q+p均為偶數(shù)，
所以2q=（q-p）+（q+p）≤2+40=42，
因此q≤21，即n=

q2-79

2

≤181滿足題目條件，故所求最大的n為181．

點評：此題考查完全平方數(shù)的性質(zhì)，以及數(shù)的奇偶性解決問題．