Question

已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點F在AC上，BF⊥AD垂足為E．若DE=2，∠AFB=∠CFD，則△ADF的面積為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：過點C作CG⊥AC交AD的延長線于G，求出∠ABF=∠CAG，然后利用“角邊角”證明△ABF和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=CG，全等三角形對應角相等可得∠G=∠AFB，從而得到∠CFD=∠G，再求出∠DCF=∠DCG=45°，然后利用“角角邊”證明△CDF和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=CF，DG=DF，然后等量代換得到AF=CF，設EF=x，然后表示出AE、BE、BF，再表示出DF，然后利用勾股定理列出方程求出x，從而得到AD、EF，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：如圖，過點C作CG⊥AC交AD的延長線于G，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠BAE=90°，
∵BF⊥AD，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠CAG，
在△ABF和△CAG中，

∠ABF=∠CAG AB=AC ∠BAF=∠ACG=90°

，
∴△ABF≌△CAG（ASA），
∴AF=CG，∠G=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CFD=∠G，
∵AB=AC，∠BAC=90°，CG⊥AC，
∴∠DCF=∠DCG=45°，
在△CDF和△CDG中，

∠CFD=∠G ∠DCF=∠DCG CD=CD

，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CG=CF，DG=DF，
∴AF=CF=

1

2

AC，
設EF=x，則AE=2x，BE=2AE=4x，
AG=BF=BE+EF=4x+x=5x，
∵DE=2，
∴DF=DG=5x-2x-2=3x-2，
在Rt△DEF中，DE²+EF²=DF²，
2²+x²=（3x-2）²，
解得x=

3

2

，
所以，AE=2×

3

2

+2=5，
△ADF的面積=

1

2

×5×

3

2

=

15

4

．
故答案為：

15

4

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，作輔助線構造出全等三角形并二次證明三角形全等，然后利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．