Question

如圖，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=

k

x

相交于點A，B．已知點A的坐標(biāo)為（-1，4），點B在第四象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點）．
（1）求實數(shù)a，b，k的值；
（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)，易求得k的值，進而可確定雙曲線的解析式；可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出點B的坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得到直線AB的解析式，進而可得到此直線與y軸交點（設(shè)為M）坐標(biāo)，以O(shè)P為底，A、B橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可表示出△BOA的面積，已知此面積為3，即可求得點B的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，即可得到a、b、k的值．
（2）易求得B（2，-2），C（4，4），若設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點為D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于兩個三角形無法發(fā)生直接聯(lián)系，可用旋轉(zhuǎn)的方法來作輔助線；
①將△BOA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，此時B₁（B點的對應(yīng)點）位于OC的中點位置上，可延長OA至E₁，使得OE=2OA₁，那么根據(jù)三角形中位線定理即可得到B₁A₁∥CE，那么E1就是符合條件的點E，A₁的坐標(biāo)易求得，即可得到點E₁的坐標(biāo)；
②參照①的方法，可以O(shè)C為對稱軸，作△B₁OA₁的對稱圖形△B₁OA₂，然后按照①的思路延長OA₂至E₂，即可求得點E₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，∵反比例函數(shù)經(jīng)過A（-1，4），
∵k=-1×4=-4，即y=-

4

x

；
設(shè)B（m，-

4

m

），已知A（-1，4），可求得
直線AB：y=-

4

m

x+4-

4

m

；
∵S_△BOA=

1

2

×（4-

4

m

）×（m+1）=3，
∴2m²-3m-2=0，
即m=2（負(fù)值舍去）；
∴B（2，-2）．
由于拋物線經(jīng)過A、B兩點，則有：

a-b=4 4a+2b=-2

，
解得

a=1 b=-3

；
∴y=x²-3x．
故a=1，b=-3，k=-4．

（2）如圖2，設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點為D；
∵直線AC∥x軸，且A（-1，4），
∴C（4，4）；
已求得B（2，-2），則有：
∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；
①將△BOA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△B₁OA₁，作AM⊥x軸于M，作A₁N⊥x軸于N．
∵A的坐標(biāo)是（-1，4），即AM=4，OM=1，
∵∠AOM+∠NOA₁=90°，∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA₁，
在△AOM與△OA₁N中，

∠AMO=∠A1NO ∠OAM=∠NOA1 OA=OA1

∴△AOM≌△OA₁N（AAS），
∴A₁N=OM=1，ON=AM=4
∴A₁的坐標(biāo)是（-4，-1），
此時B₁是OC的中點，延長OA₁至E₁，使得OE=2OA₁，
則△COE₁∽△B₁OA₁∽△BOA；
則E₁（-8，-2）；
②以O(shè)C所在直線為對稱軸，作△B₁OA₁的對稱圖形△B₁OA₂，
延長OA₂至E₂，使得OE₂=2OA₂，
則△COE₂≌△COE₁∽△BOA；
易知A₂（-1，-4），則E₂（-2，-8）；
故存在兩個符合條件的E點，且坐標(biāo)為E₁（-8，-2），E₂（-2，-8）．

點評：此題考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法，相似三角形的判定等知識．難點在于（2）題的輔助線作法，能夠發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°，并能通過旋轉(zhuǎn)作出相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．