Question

7．（1）操作發(fā)現(xiàn)：
如圖①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，沿AD折疊△ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處，請(qǐng)寫出AB、AC、CD之間的關(guān)系A(chǔ)B=AC+DC
（2）問(wèn)題解決：
如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請(qǐng)猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）類比探究：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，連接AC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，沿AE折疊，使得點(diǎn)D正好落在AC上的點(diǎn)F處，若BC=3，直接寫出DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC，DE=DC，然后證明△BED為等腰直角三角形，從而得到BE=ED，故此可證得AB=AC+CD；
（2）由翻折的性質(zhì)得到AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED，由三角形外角的性質(zhì)可證明∠B=∠EDB，從而得到BE=ED，于是可證明AB=AC+CD；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，由特殊銳角三角函數(shù)值可知CH的長(zhǎng)，從而得到AC的長(zhǎng)，然后求得AD的長(zhǎng)，最后根據(jù)AC=AD+DE求解即可．

解答 解：（1）∵∠C=2∠B=90°，
∴∠B=45°．
由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED=90°．
∵∠B=45°，∠BED=90°，
∴∠EDB=45°．
∴∠B=∠EDB=45°．
∴BE=ED．
∴BE=DC．
∴AB=AC+DC．
故答案為：AB=AC+DC．
（2）由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED．
∵∠B+∠EDB=∠AED，∠C=2∠B，
∴∠B=∠BDE．
∴BE=ED．
∴BE=DC．
∴AB=AC+DC．
（3）如圖所示：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H．

∵∠B=120°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=30°．
∴CH=BC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∵AB=BC，BH⊥AC，
∴CH=HA．
∴AC=3$\sqrt{3}$．
在Rt△ACD中，AD=$3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
∵AC=AD+ED，
∴ED=AC-AD=3$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$=$\frac{6\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，證得BE=ED是解題的關(guān)鍵．