Question

如圖，已知⊙O₁和⊙O₂外切于點P，AB是兩圓的外公切線，A，B為切點，AP的延長線交⊙O₁于C點，BP的延長線交⊙O₂于D點，直線O₁O₂交⊙O₁于M，交⊙O₂于N，與BA的延長線交于點E．
求證：（1）AB²=BC•DA．
（2）線段BC，AD分別是兩圓的直徑．
（3）PE²=BE•AE．

Answer 1

證明：（1）∵BA切⊙O₁于B，∴∠ABP=∠C，∵BA切⊙O₂于A，∴∠BAP=∠D，∴△ABC∽△DAB，∴，∴AB²=BC•DA；

（2）過P作兩圓的內(nèi)公切線交AB于F，由切線長定理得：BF=PF，PF=AF，∴PF=BF=AF=AB
∴∠BPA=90°，∴BP⊥AP，∴∠BPC=∠APD=90°，∴BC，AD分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑．

（3）∵PF是⊙O₁和⊙O₂的公切線，∴PF⊥O₁O₂，∴∠APF=∠APE=90°，∵∠APB=90°，
∴∠ABP+∠BAP=90°，又∵PF=AF，∴∠BAP=∠APF，∴∠ABP=∠APE，∵∠E=∠E
∴△EPB∽△EAP，∴，∴PE²=BE•AE．
分析：（1）此題的關鍵是利用∠ABP=∠C，∠BAP=∠D，判定△ABC∽△DAB，然后即可推出AB²=BC•DA．
（2）由切線長定理得BF=PF，PF=AF，PF=BF=AF=AB，從而推出BC，AD分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑．
（3）利用PF⊥O₁O₂，∠APF=∠APE=90°，PF=AF，∠BAP=∠APF得出△EPB∽△EAP，從而得出答案．
點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質、切線長定理、兩圓相切的性質等知識點的理解與掌握，綜合性較強．