Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A(1，1)，且與直線交于B，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求△ABC的面積；

（3）若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0)

【解析】

（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，與x軸交于D，得到y＝2x1，求得BD于是得到結(jié)論；

（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，又拋物線過原點(diǎn)，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，

即y=﹣x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，

解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，與x軸交于D，

把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐標(biāo)代入得，

解得：，

∴y=2x﹣1，當(dāng)y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0），

∴BD=2﹣=，

∴△ABC的面積=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），

∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，

∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N，∴∠ABC=∠MNO=90°，

∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時(shí)，有或，

①當(dāng)時(shí)，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，

∵當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

②當(dāng)或時(shí)，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．