Question

如圖，BC為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，連接AB交⊙O于點(diǎn)P．
（1）若⊙O的半徑長(zhǎng)為2cm，∠B=60°，求AP的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，判斷PQ與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)BC的長(zhǎng)和∠B的度數(shù)，即可求出AC、AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可由切割線定理求出AP的長(zhǎng)．
（2）連接CP，由于BC是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠CPB、∠CPA都是直角，在Rt△CPA中，由于Q是斜邊AC的中點(diǎn)，因此QC=QP，即∠QCP=∠QPC；而∠OCP=∠OPC，所以∠OCQ與∠OPQ相等，由此可證得OP⊥PQ，即PQ與⊙O相切．
解答：解：（1）∵AC是⊙O的切線，
∴BC⊥AC，即∠BCA=90°；
在Rt△BCA中，∠B=60°，BC=4cm，
故AB=8cm，AC=4cm；
由切割線定理知：AC²=AP•AB，即AP=AC²÷AB=48÷8=6cm．

（2）連接CP、OP，則∠CPB=∠CPA=90°；
在Rt△CPA中，Q是AC的中點(diǎn)，則QP=QC，
故∠QCP=∠QPC；
又∵∠OCP=∠OPC，
∴∠OCP+∠QCP=∠OPC+∠QPC，即∠OPQ=∠OCQ=90°，
因此PQ與⊙O相切．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、切割線定理以及切線的判定等知識(shí)，難度適中．