Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．△ABC的邊BC在x軸上，A、C兩點的坐標分別為A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且，點P從B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線BO勻速運動，設點P運動時間為t秒．
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）連接PA，用含t的代數(shù)式表示△POA的面積；
（3）當P在線段BO上運動時，在y軸上是否存在點Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐標是（0，4），C的坐標是（3，0）；
（2）
∵B（-5，0），
∴OB=5，
①當0≤t＜時，P在線段OB上，如圖1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面積S=×OP×AP=×（5-2t）×4=10-4t；
②當t=時，P和O重合，此時△APO不存在，即S=0；
③當t＞時，P在射線OC上，如備用圖2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面積S=×OP×AP=×（2t-5）×4=4t-10；
（3）當P在線段BO上運動時，在y軸上存在點Q，使△POQ與△AOC全等，
①當BP=1，OQ=3時，△POQ和△AOC全等，
此時t=，Q的坐標是（0，3）；
②當BP=2，OQ=4時，△POQ和△AOC全等，
此時t==1，Q的坐標是（0，4）；
③當BP=5+3=8，OQ=4時，△POQ和△AOC全等，
此時t==4，Q的坐標是（0，4）；
④當BP=5+4=9，OQ=3時，△POQ和△AOC全等，
此時t=，Q的坐標是（0，3）．
分析：（1）根據偶次方和算術平方根的非負性得出n-3=0，3m-12=0，求出即可；
（2）分為三種情況：當0≤t＜時，P在線段OB上，②當t=時，P和O重合，③當t＞時，P在射線OC上，求出OP和OA，根據三角形的面積公式求出即可；
（3）分為四種情況：①當BP=1，OQ=3時，②當BP=2，OQ=4時，③當BP=5+3=8，OQ=4時，④當BP=5+4=9，OQ=3時，求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，偶次方和算術平方根的非負性，三角形的面積，坐標與圖形性質等知識點的綜合運用，關鍵是求出符合條件的所有情況，是一道比較容易出錯的題目．