Question

（2007•蘭州）如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD，等邊△ACE、等邊△BCF．
（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）
①當(dāng)△ABC滿足______條件時，四邊形DAEF是矩形；
②當(dāng)△ABC滿足______條件時，四邊形DAEF是菱形；
③當(dāng)△ABC滿足______條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在．

Answer 1

【答案】分析：（1）、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證△ABC≌△DBF≌△EFC，就有AD=EF，DF=CE，從而得證四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）、當(dāng)∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，所以平行四邊形DAEF是矩形；
當(dāng)AB=AC≠BC，有AD=AE，所以平行四邊形DAEF是菱形；
當(dāng)∠BAC=60°，△FBC與△ABC重合，故以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在．
解答：（1）證明：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC和△DBF中，
∴△ABC≌△DBF．（2分）
∴AC=DF=AE．（3分）
同理△ABC≌△EFC．
∴AB=EF=AD．（4分）
∴四邊形ADFE是平行四邊形．（6分）

（2）解：當(dāng)∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∴平行四邊形DAEF是矩形．
當(dāng)AB=AC≠BC，有AD=AE，
∴平行四邊形DAEF是菱形．
當(dāng)∠BAC=60°，△FBC與△ABC重合，故以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在．
點評：本題利用了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)．