Question

如圖，已知直線y=

1

2

x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=

1

2

x2+bx+1與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且線段OA=OB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-CM|的值最大，求點M的坐標．
（注：拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-

b

2a

）

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易得點A（0，1），B（1，0），那么把A，B坐標代入y=

1

2

x²+bx+c即可求得函數(shù)解析式；
（2）讓直線解析式與拋物線的解析式結合即可求得點E的坐標．△PAE是直角三角形，應分點P為直角頂點，點A是直角頂點，點E是直角頂點三種情況探討；
（3）易得|AM-MC|的值最大，應找到C關于對稱軸的對稱點B，連接AB交對稱軸的一點就是M．應讓過AB的直線解析式和對稱軸的解析式聯(lián)立即可求得點M坐標．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x+1與y軸交于點A，
∴A點坐標為；（0，1），
∵線段OA=OB，
∴B（1，0），
將A（0，1）、B（1，0）坐標代入y=

1

2

x²+bx+c
得

c=1 1 2 +b+c=0

，
解得

b=- 3 2 c=1

，
∴拋物線的解折式為y=

1

2

x²-

3

2

x+1；

（2）設點E的橫坐標為m，則它的縱坐標為

1

2

m²-

3

2

m+1，
即E點的坐標（m，

1

2

m²-

3

2

m+1），
又∵點E在直線y=

1

2

x+1上，
∴

1

2

m²-

3

2

m+1=

1

2

m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐標為（4，3）．
（Ⅰ）當A為直角頂點時，
過A作AP₁⊥DE交x軸于P₁點，設P₁（a，0）易知D點坐標為（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得

DO

OA

=

DA

AP1

即

2

1

=

1

a

，
∴a=

1

2

，
∴P₁（

1

2

，0）．
（Ⅱ）同理，當E為直角頂點時，過E作EP₂⊥DE交x軸于P₂點，
由Rt△AOD∽Rt△P₂ED得，

DO

OA

=

DE

EP2

即

2

1

=

3 5

EP2

，
∴EP₂=

3 5

2

，
∴DP₂=

3 5 × 5

3

=

15

3

∴a=

15

2

-2=

11

2

，
P₂點坐標為（

11

2

，0）．
（Ⅲ）當P為直角頂點時，過E作EF⊥x軸于F，設P₃（t，0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由

AO

PF

=

OP

EF

得

1

4-t

=

t

3

，
解得t₁=3，t₂=1，
∴此時的點P₃的坐標為（1，0）或（3，0），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（

1

2

，0）或（1，0）或（3，0）或（

11

2

，0）；

（3）拋物線的對稱軸為x=

3

2

，
∵B、C關于x=

3

2

對稱，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大，
由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時|AM-MB|的值最大．
易知直線AB的解折式為y=-x+1
∴由

y=-x+1 x= 3 2

，
得

x= 3 2 y=- 1 2

，
∴M（

3

2

，-

1

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質等知識，根據一個三角形是直角三角形，應分不同頂點為直角等多種情況進行分析；求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點關于所求的點在的直線的對稱點得出是解題關鍵．