Question

已知：AB是直徑，CD是∠ACB的角平分線，AC=8，BC=6．
（1）求證：AC•BC=CG•CD；
（2）求AB、AD、BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）由條件可證明△ACG∽△DCB，可得

AC

CD

=

CG

BC

，即AC•BC=CG•CD；
（2）由勾股定理可求得AB=10，由∠ACD=∠BCD，可得AD=BD，在Rt△ABD中由勾股定理可得出AD和BD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，且∠CAG=∠CDB（同弧所對(duì)的圓周角），
∴△ACG∽△DCB，
∴

AC

CD

=

CG

BC

，即AC•BC=CG•CD；

（2）解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACD=∠DCB，
∴AD=BD，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，可求得AB=10，
在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD=BD=5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理及相似三角形的判定和性質(zhì)，在第（1）問(wèn)是證明△ACG∽△DCB、在第（2）問(wèn)中得到AD=BD是解題的關(guān)鍵．