Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若E是弧AC的中點，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：證明題

分析：（1）由OA=OC得∠OCA=∠OAC，由AC平分∠DAB得∠DAC=∠OAC，則∠ADC=∠OCA，根據(jù)平行線的判定得OC∥AD，由于AD⊥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到CD是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OE，由E是弧AC的中點，根據(jù)圓周角定理得∠DAC=∠ECA，而∠DAC=∠OAC，則∠ECA=∠OAC，于是可判斷EC∥OA，加上OC∥AE，可判斷四邊形OAEC為平行四邊形，由于OA=OC，則可判斷四邊形OAEC為菱形，所以CE=OC=OE=2，△OCE都為等邊三角形，得到∠COE=∠OCE=60°，易得∠DCE=30°，
在Rt△DCE中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得DE=1，DC=

3

，所以S_△DCE=

3

2

，由于弓形AE的面積=弓形CE的面積，所以S_陰影=S_△DCE=

3

2

解答：（1）證明：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠ADC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)OE，如圖，
∵E是弧AC的中點，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠OAC，
∴∠ECA=∠OAC，
∴EC∥OA，
而OC∥AE，
∴四邊形OAEC為平行四邊形，
而OA=OC，
∴四邊形OAEC為菱形，
∴CE=OC=OE=2，
∴△OCE都為等邊三角形，
∴∠COE=∠OCE=60°，
而∠DCO=90°，
∴∠DCE=30°，
在Rt△DCE中，CE=2，
∴DE=

1

2

CE=1，DC=

3

DE=

3

，
∴S_△DCE=

1

2

•1•

3

=

3

2

，
∵AE弧=CE弧，
∴弓形AE的面積=弓形CE的面積，
∴S_陰影=S_△DCE=

3

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了扇形的面積公式．