已知:在矩形ABCD中,E為邊BC上的一點,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F(xiàn)為線段BE上一點,EF=7,連接AF。如圖1,現(xiàn)有一張硬紙片△GMN,∠NGM=900,NG=6,MG=8,斜邊MN與邊BC在同一直線上,點N與點E重合,點G在線段DE上。如圖2,△GMN從圖1的位置出發(fā),以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動,同時,點P從A點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動,點Q為直線GN與線段AE的交點,連接PQ。當點N到達終點B時,△GMNP和點同時停止運動。設運動時間為t秒,解答問題:

(1)在整個運動過程中,當點G在線段AE上時,求t的值;
(2)在整個運動過程中,是否存在點P,使△APQ是等腰三角形,若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(3)在整個運動過程中,設△GMN與△AEF重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍。
解:(1)∵∠NGM=900,NG=6,MG=8,,
∴由勾股定理,得NM=10。
當點G在線段AE上時,如圖,

此時,GG′=MN=10。
∵△GMN從圖1的位置出發(fā),以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動,
∴t=10秒。
(2)存在。
由矩形ABCD中,AB=12,BE=16,得AE=20。
①當0<t≤10時,線段GN與線段AE相交,如圖,過點Q作QH⊥BC于點H,QI⊥AB于點I,過點P作PJ⊥IJ于點J。

根據(jù)題意,知AP=EN=t,
由△QNE∽△GNM得,即,∴。
由△QHE∽△NGM得,即,
。
。
若AP=AQ,則,解得,不存在;
若AP=PQ,則,△<0,無解,不存在;
若AQ=PQ,則,無正數(shù)解,不存在。
②當10<t≤16時,線段GN的延長線與線段AE相交,如圖,過點Q作QH⊥BC于點H,QI⊥AB于點I,過點P作PJ⊥IJ于點J。

同上,AP=EN=t,
由△QNE∽△GNM得,即,∴。
由△QHE∽△NGM得,即
。

若AP=AQ,則,解得
若AP=PQ,則,△<0,無解,不存在;
若AQ=PQ,則,無正數(shù)解,不存在。
綜上所述,存在,使△APQ是等腰三角形。
(3)S與t的函數(shù)關(guān)系式為。
(1)由勾股定理,求出MN的長,點Q運動到AE上時的距離MN的長,離從而除以速度即得t的值。
(2)分0<t≤10和10<t≤16兩種情況討論,每種情況分AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ三種情況討論。
(3)當0<t≤7時,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△QNE的面積,
由(2)①,EN=t,,∴。
當7<t≤10時,如圖,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形QIFE的面積,它等于△NQE的面積減去△NIF的面積。

由(2)①,EN=t,,∴。
過點I 作IJ⊥BC于點J,
∵EF=7,EN=t,∴
由△FJI∽△FBA得,即。
由△INJ∽△MNG得,即。
二式相加,得!
。
當10<t≤時,如圖,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形GIFM的面積,它等于△GMN的面積減去△INF的面積。
過點I 作IH⊥BC于點H,

∵EF=7,EN=t,∴
由△FHG∽△FBA得,即
由△INH∽△MNG得,即
二式相加,得!。
。
<t≤16時,如圖,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△IFM的面積。

,
(同上可得),

綜上所述,。
練習冊系列答案
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