Question

18．如圖，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且FB=1．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)O、A、E三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)△OAP的面積為2，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先確定A和E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求得P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)；
（3）分成A是直角頂點(diǎn)，F(xiàn)是直角頂點(diǎn)，Q是直角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，確定若構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)，Q是否在拋物線上即可．

解答 解：（1）A的坐標(biāo)是（2，0），E的坐標(biāo)是（1，2）．
設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{a+b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式是y=-2x²+4x；
（2）當(dāng)△OAP的面積是2時(shí)，P的縱坐標(biāo)是2或-2．
當(dāng)-2x²+4x=2時(shí)，解得：x=1，則P的坐標(biāo)是（1，2）；
當(dāng)-2x²+4x=-2時(shí)，解得：x=1±$\sqrt{2}$，
此時(shí)P的坐標(biāo)是（1+$\sqrt{2}$，-2）或（1-$\sqrt{2}$，-2）；
（3）AF=AB+BF=2+1=3．
OA=2，則A是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線上；
當(dāng)F是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線上；
當(dāng)Q是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q到AF的距離是$\frac{1}{2}$AF=$\frac{3}{2}$，若Q存在，則Q的坐標(biāo)是（2-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），即（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），在拋物線上；
綜上，拋物線上存在Q點(diǎn)滿足題目要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行討論是本題的關(guān)鍵．