Question

19．如果6^m=a，那么我們稱m為a的郎格數(shù)，記為m=f（a）．有上述定義可知：6^m=a和m=f（a）中的變量a與m所表示的關(guān)系為同一關(guān)系，并且有性質(zhì)：若a、b均為正數(shù)，則f（ab）=f（a）+f（b），f（$\frac{a}$）=f（a）-f（b）．
（1）根據(jù)郎格數(shù)的定義可得：
f（6）=1；f（$\frac{1}{6}$）=-1；f（$\frac{1}{36}$）=-2；
（2）根據(jù)郎格數(shù)的性質(zhì)可得：
$①\frac{f（{a}^{a}）}{f（a）}$=a（a為正數(shù)）
②若f（2）=x（x≠0），則f（3）=1-x，f（4）=2x．
（3）若下表中與數(shù)a對(duì)應(yīng)的郎格數(shù)f（a）有且只有一個(gè)是不正確的，請(qǐng)找出錯(cuò)誤的郎格數(shù)，說(shuō)明理由并改正．

a	1.5	3	4	9	16	24
f（a）	2x+y	$\frac{1+2x+y}{2}$	1-2x-y	1+2x+y	2-4x-2y	-2x-y

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義由6¹=6、6^-1=$\frac{1}{6}$、6^-2=$\frac{1}{36}$可得f（6）、f（$\frac{1}{6}$）、f（$\frac{1}{36}$）的值；
（2）①將$\frac{f（{a}^{a}）}{f（a）}$根據(jù)性質(zhì)寫(xiě)成$\frac{f（a）+f（a）+…+f（a）}{f（a）}$可得；
②根據(jù)性質(zhì)將f（3）寫(xiě)成f（$\frac{6}{2}$）=f（6）-f（2），f（4）寫(xiě)成f（2×2）=f（2）+f（2）可得；
（3）分別假設(shè)f（3）≠$\frac{1+2x+y}{2}$、f（4）≠1-2x-y推得f（9）、f（16），根據(jù)有且只有一個(gè)錯(cuò)誤可排除這四個(gè)，再根據(jù)以上f（6）、f（4）的值推出f（1.5）、f（24），即可判斷．

解答 解：（1）根據(jù)定義，∵6¹=6，∴f（6）=1；
∵6^-1=$\frac{1}{6}$，∴f（$\frac{1}{6}$）=-1；
∵6^-2=$\frac{1}{36}$，∴f（$\frac{1}{36}$）=-2．
（2）$①\frac{f（{a}^{a}）}{f（a）}$=$\frac{f（a•a•…•a）}{f（a）}$=$\frac{f（a）+f（a）+…+f（a）}{f（a）}$=$\frac{af（a）}{f（a）}$=a；
②∵f（2）=x（x≠0），
∴f（3）=f（$\frac{6}{2}$）=f（6）-f（2）=1-x；
f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2x．
（3）假設(shè)f（3）≠$\frac{1+2x+y}{2}$，則有f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3）≠1+2x+y．
∵有且只有一個(gè)錯(cuò)誤，
∴f（3）=$\frac{1+2x+y}{2}$，f（9）=1+2x+y都是正確的．
假設(shè)f（4）≠1-2x-y，則有f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2f（4）≠2-4x-2y．
∵有且只有一個(gè)錯(cuò)誤，
∴f（4）=1-2x-y，f（16）=2-4x-2y都是正確的．
∵f（6）=1，
∴f（1.5）=f（$\frac{6}{4}$）=1-（1-2x-y）=2x+y，
f（24）=f（4×6）=f（4）+f（6）=1-2x-y+1=2-2x-y≠-2x-y，
∴f（24）=-2x-y是不正確的，
f（24）應(yīng)為2-2x-y．
故答案為：（1）1，-1，-2；（2）①a，②1-x，2x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查整式的運(yùn)算和新定義下的定義及性質(zhì)得運(yùn)用，結(jié)合題目運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行變形求值是本題的根本，利用已求式子的值作為已知條件再加以運(yùn)用是解題的一種手段．