Question

已知關(guān)于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0．
（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍；
（2）若方程的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，且滿足x₁²+x₂²=32，求a的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得出△＞0，再列出不等式進行求解即可；
（2）根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系先求出x₁+x₂和x₁•x₂的值，再根據(jù)（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁•x₂，列式計算即可．

解答：解：（1）△=[2（a-1）]²-4（a²-7a-4）=20a+20，
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴20a+20＞0，
∴a＞-1；

（2）由題意得：x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，
∵（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁•x₂，
∴[-2（a-1）]²=32+2（a²-7a-4），
∴a²+3a-10=0，
解得：a=2或-5，
∵a≥-1，
∴a=2．

點評：此題考查了根的判別式和跟與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．