【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0),將直線y=﹣x沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B,C兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)設(shè)拋物線的頂點為D,點P在拋物線的對稱軸上,且APD=ACB,求點P的坐標;

(3)連結(jié)CD,求OCA與OCD兩角和的度數(shù).

【答案】(1)y=x2﹣4x+3;

(2)點P的坐標為(2,2)或(2,﹣2);

(3)OCA與OCD兩角和的度數(shù)為45°.

析】

試題分析:(1)根據(jù)平移的規(guī)律,可得BC的解析式,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得B、C點坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得BC的解析式;

(2)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得A、B、C點坐標,根據(jù)配方法,可得D點坐標,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),可得BC的長,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得PF的長,根據(jù)線段的和差,可得F點坐標;

(3)根據(jù)軸對稱,可得A′點,根據(jù)勾股定理,可得A′C,A′D,根據(jù)勾股定理的逆定理,可得CA′D=90°,根據(jù)等量代換,可得答案.

試題解析:(1)直線y=﹣x沿y軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C,得

y=﹣x+3,即C(0,3),(3,0).

拋物線y=x2+bx+c過點B,C,,解得

故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.

(2)由y=x2﹣4x+3,當(dāng)y=0時,x2﹣4x+3=0,解得x=1,x=3,即A(1,0),B(3,0).

y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,D(2,﹣1).OB=3,OC=3,OA=1,AB=2.

可得OBC是等腰直角三角形.∴∠OBC=45°,CB=3

如圖1,設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點F,

AF=AB=1.過點A作AEBC于點E.∴∠AEB=90°.可得BE=AE=,CE=2

AEC與AFP中,AEC=AFP=90°,ACE=APF,∴△AEC∽△AFP.

=, =.解得PF=2.點P在拋物線的對稱軸上,點P的坐標為(2,2)或(2,﹣2).

(3)如圖2,作點A(1,0)關(guān)于y軸的對稱點A′,則A′(﹣1,0).

連結(jié)A′C,A′D,可得A′C=AC=,OCA′=OCA.

由勾股定理可得CD2=20,A′D2=10.又A′C2=10,A′D2+A′C2=CD2

∴△A′DC是等腰直角三角形,CA′D=90°,∴∠DCA′=45°.

∴∠OCA′+OCD=45°.∴∠OCA+OCD=45°.

OCA與OCD兩角和的度數(shù)為45°.

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