Question

15．已知，如圖1，∠AOC=∠BOD=80°．設(shè)∠AOC和∠BOD的公共角∠BOC度數(shù)是m°（0＜m＜80）．
（1）用含m的代數(shù)式表示：∠COD的度數(shù)是80-m°，∠AOD的度數(shù)是160-m°．
（2）若∠AOD=4∠BOC，求m的值．
（3）如圖2，當(dāng)OM、ON分別是∠AOD、∠COD的角平分線時，∠MON的度數(shù)是否變化？若不變，求出∠MON的度數(shù)；若變化，請說明理由．
（4）若射線OP以每秒10°的速度從OA位置繞點O逆時針運動，同時，射線OQ以每秒5°的速度從OC位置繞點O順時針運動，當(dāng)OP在∠AOB內(nèi)，OQ在∠BOC內(nèi)時，如圖3，在任何某一時刻，總有∠POB=2∠QOB，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角度的和、差即可求解；
（2）根據(jù)（1）以及∠AOD=4∠BOC即可列方程求解；
（3）根據(jù)∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠COD）-$\frac{1}{2}$∠AOC，求得∠MON的度數(shù)，即可判斷；
（4）設(shè)運動的時間是t秒，則∠POB=（80-m）-10t，∠QOB=m-5t，根據(jù)PB=2BQ即可列方程求解．

解答 解：（1）∠COD=∠BOD-∠BOC=（80-m）°，
∠AOD=∠COD+∠AOC=80-m+80=160-m°；
故答案是：80-m，160-m；
（2）∵∠AOD=4∠BOC，
∴160-m=4m，
解得：m=32；
（3）∠MON是定值．
理由是：∵OM、ON是∠AOD和∠COD的平分線，
∴∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠NOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠COD）-$\frac{1}{2}$∠AOC=40°，
∴∠MON的度數(shù)是定值，是40°；
（4）設(shè)運動的時間是t秒，則∠POB=（80-m）-10t，∠QOB=m-5t，
∵PB=2BQ，
∴（80-m）-10t=2（m-5t），
∴m=$\frac{80}{3}$．

點評 本題考查了角度的計算，求角度的方法一般是轉(zhuǎn)化為角的和、差計算．