Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；④若AC=dm，AD=2dm，則點(diǎn)D到AB的距離是1dm；⑤S△DAC∶S△DAB＝AC∶AB＝1∶2

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線；故①正確；

②如圖，

∵在△ABC中，∠C=90，∠B=30°，∴∠CAB=60°.

又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；故③正確；

④∵∠C＝90°，AC=dm，AD=2dm，∴CD=1cm，

如圖，過D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AD是∠CAB的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴CD=ED， ∴ED=1cm，故④正確；

（5）在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=ACCD=ACAD.

∴S△ABD=ACBD=ACAD=ACAD，

∴S△DAC:S△ABD=ACAD: ACAD=1:2.故⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④⑤.

故選：D.