Question

有一種螃蟹，從海里捕獲后不放養(yǎng)最多只能存活兩天，如果在池塘里放養(yǎng)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的螃蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)螃蟹的個(gè)體重量基本保持不變．現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了這種活螃蟹1000千克放養(yǎng)在池塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30元．據(jù)推測(cè)，此后每千克活螃蟹的市場(chǎng)價(jià)在前5天內(nèi)不發(fā)生變化，從第6天開始每天漲價(jià)1元，放養(yǎng)30后，每天漲價(jià)2元，但是，放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元，且每天還有10千克螃蟹死去，假設(shè)死螃蟹當(dāng)天全部出售，售價(jià)都是每千克20元．
（1）寫出市場(chǎng)價(jià)P（元）與放養(yǎng)時(shí)間X（天）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）如果放養(yǎng)X天后將活螃蟹一次性出售，并記1000千克螃蟹的銷售總額Q（元），請(qǐng)求出Q（元）與放養(yǎng)時(shí)間X（天）之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）該經(jīng)銷商將這批螃蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲得最大利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

解：（1）①當(dāng)1≤X≤5時(shí)，P=30；
②5＜X≤30時(shí)，P=30+（X-5）=25+X；
③當(dāng)X＞30時(shí)，P=30+25+2（X-30）=2X-5；
綜上可得P=；

（2）當(dāng)1≤X≤5時(shí)，Q=30（1000-10X）+20×10X=30000-100X；
②5＜X≤30時(shí)，P=30+（X-5）=25+X；剩余螃蟹量為1000-10X，
則Q=（25+X）（1000-10X）+20×10X=-10X²+950X+25000；
③當(dāng)X＞30時(shí)，P=30+25+2（X-30）=2X-5，剩余螃蟹量為1000-10X，
則Q=（2X-5）（1000-10X）+20×10X=-20X²+2250X-5000
綜上可得Q=．

（3）①當(dāng)1≤X≤5時(shí)，w=Q-400X=30000-500X，
當(dāng)X=1時(shí)，銷售額最大，最大為29500元；
②5＜X≤30時(shí)，w=Q-400X=-10X²+550X+25000=-10（X-）²+32562.5，
當(dāng)x=27或28時(shí)，Q取得最大，最大為32560元；
③當(dāng)X＞30時(shí)，w=Q-400X=-20X²+1850X-5000=-20（X-）²+37781.25，
當(dāng)X=46時(shí)，Q取得最大，最大為37780元．
綜上可得當(dāng)x=46時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為37780元．
答：該經(jīng)銷商將這批螃蟹放養(yǎng)46天后出售，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為37780元．
分析：（1）分三段討論，①1≤X≤5，②5＜X≤30，③X＞30，分別求出P與X的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)Q=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×剩余螃蟹量，即可得出Q（元）與放養(yǎng)時(shí)間X（天）之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，分別確定每一個(gè)時(shí)間段的最大利潤(rùn)，比較即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及分段函數(shù)的知識(shí)，難點(diǎn)在于每一段自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式求解，注意仔細(xì)審題，熟練配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用．