Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M（x，y）是直線AB上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于D．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并說明理由．
（2）設(shè)四邊形OCMD面積S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)的面積．
（3）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將四邊形OCMD沿著x軸的正方形移動(dòng)，這平移的距離為a（0＜a＜4），求當(dāng)a為多少時(shí)正方形OCMD的周長(zhǎng)被分為1：3．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4，用坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)度則：MC=|-x+4|，MD=|x|，分成M在AB的延長(zhǎng)線上，在線段AB上，在線段BA的延長(zhǎng)線上，則x的范圍即可確定，根據(jù)矩形的面積公式即可寫出函數(shù)解析式；
（2）先用x表示出MC和MD的長(zhǎng)，即可得到函數(shù)關(guān)系式；
（3）正方形OCMD的周長(zhǎng)被分為1：3時(shí)，當(dāng)A在直線AB的左側(cè)時(shí)，如圖（2），右側(cè)是等腰直角三角形，等腰直角三角形的兩直角邊的和是矩形周長(zhǎng)的

1

4

，據(jù)此即可求得；同理當(dāng)A在直線AB的右側(cè)時(shí)，如圖（3），直線AB的左側(cè)的部分是等腰直角三角形，等腰直角三角形的兩直角邊的和是矩形周長(zhǎng)的

1

4

．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4，
則：MC=|-x+4|，MD=|x|，
當(dāng)M在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，即x＜0時(shí)，則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=-x，
因而C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4-x）=8-4x，此時(shí)四邊形OCMD的周長(zhǎng)是發(fā)生變化的；
當(dāng)M在線段AB上時(shí)，即0＜x＜4，則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，此時(shí)四邊形OCMD的周長(zhǎng)不發(fā)生變化；
當(dāng)M在BA的延長(zhǎng)線上，即x＞4時(shí)，MC=|-x+4|=4-x，MD=|x|=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（4-x+x）=8，此時(shí)四邊形OCMD的周長(zhǎng)不發(fā)生變化；
總之，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上或BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，總是等于8．
當(dāng)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形OCMD的周長(zhǎng)發(fā)生變化；

（2）當(dāng)M在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，即x＜0時(shí)，S=MC•MD=（-x+4）•（-x）=x²-4x；
當(dāng)M在線段AB上時(shí)，0＜x＜4時(shí)，S=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x；
當(dāng)M在BA的延長(zhǎng)線上，即x＞4時(shí)，S=MC•MD=（4-x）•x=4x-x²；
當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)-x+4=x，解得：x=2，
把x=2代入函數(shù)解析式S=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x，得：S_{四邊形OCMD}=4，即四邊形OCMD為正方形時(shí)的面積是4；
（3）當(dāng)A在直線AB的左側(cè)時(shí)，如圖（2），右側(cè)是等腰直角三角形，則正方形OCMD的周長(zhǎng)被分為1：3時(shí)，2a=

1

4

×8，
解得：a=1．
當(dāng)A在直線AB的右側(cè)時(shí)，如圖（3），直線AB的左側(cè)的部分是等腰直角三角形，2（2+a-4）=

1

4

×8，
解得：a=3．
總之，a=1或3．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合四邊形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，有關(guān)函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用幾何圖形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起，利用題中所給出的面積和周長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系求解．