Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M（x，y）是直線AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．
（1）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化？并說明理由．
（2）設四邊形OCMD面積S，求S與x的函數關系式；并求出當四邊形OCMD為正方形時的面積．
（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方形移動，這平移的距離為a（0＜a＜4），求當a為多少時正方形OCMD的周長被分為1：3．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，用坐標表示線段的長度則：MC=|-x+4|，MD=|x|，分成M在AB的延長線上，在線段AB上，在線段BA的延長線上，則x的范圍即可確定，根據矩形的面積公式即可寫出函數解析式；
（2）先用x表示出MC和MD的長，即可得到函數關系式；
（3）正方形OCMD的周長被分為1：3時，當A在直線AB的左側時，如圖（2），右側是等腰直角三角形，等腰直角三角形的兩直角邊的和是矩形周長的

1

4

，據此即可求得；同理當A在直線AB的右側時，如圖（3），直線AB的左側的部分是等腰直角三角形，等腰直角三角形的兩直角邊的和是矩形周長的

1

4

．

解答：解：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，
則：MC=|-x+4|，MD=|x|，
當M在AB的延長線上時，即x＜0時，則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=-x，
因而C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4-x）=8-4x，此時四邊形OCMD的周長是發(fā)生變化的；
當M在線段AB上時，即0＜x＜4，則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，此時四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化；
當M在BA的延長線上，即x＞4時，MC=|-x+4|=4-x，MD=|x|=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（4-x+x）=8，此時四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化；
總之，當點M在線段AB上或BA的延長線上運動時，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8．
當M在線段AB的延長線上時，四邊形OCMD的周長發(fā)生變化；

（2）當M在AB的延長線上時，即x＜0時，S=MC•MD=（-x+4）•（-x）=x²-4x；
當M在線段AB上時，0＜x＜4時，S=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x；
當M在BA的延長線上，即x＞4時，S=MC•MD=（4-x）•x=4x-x²；
當四邊形OCMD為正方形時，P在線段AB上，此時-x+4=x，解得：x=2，
把x=2代入函數解析式S=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x，得：S_{四邊形OCMD}=4，即四邊形OCMD為正方形時的面積是4；
（3）當A在直線AB的左側時，如圖（2），右側是等腰直角三角形，則正方形OCMD的周長被分為1：3時，2a=

1

4

×8，
解得：a=1．
當A在直線AB的右側時，如圖（3），直線AB的左側的部分是等腰直角三角形，2（2+a-4）=

1

4

×8，
解得：a=3．
總之，a=1或3．

點評：本題結合四邊形的性質考查二次函數的綜合應用，有關函數和幾何圖形的綜合題目，要利用幾何圖形的性質和二次函數的性質把數與形有機地結合在一起，利用題中所給出的面積和周長之間的數量關系求解．