Question

如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經(jīng)過B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點(diǎn)C、D；
（2）若M點(diǎn)是該拋物線上位于C、D之間的一動(dòng)點(diǎn)，求△CDM面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）²+m，因?yàn)轫旤c(diǎn)在直線上，所以h=，然后再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入其中求出m的值即可得到二次函數(shù)的解析式．再利用A和B的坐標(biāo)得出線段OA，OB的長，利用勾股定理求出AB，又四邊形為菱形得出它的四條邊長，從而得出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，分別把兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中求出y的值，從而判斷出拋物線一定過點(diǎn)C、D．
（2）先利用點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，設(shè)出M的橫坐標(biāo)為t，因?yàn)镸N∥y軸，所以N的橫坐標(biāo)也為t，分別把兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到拋物線和直線CD的解析式中表示出它們的縱坐標(biāo)，讓其縱坐標(biāo)相減即可得到MN的長l與t的二次函數(shù)關(guān)系式，求出t=-=時(shí)MN有最大值為，然后把MN當(dāng)作三角形CMN和三角形DMN的公共底，分別表示出三角形CMN和三角形DMN的面積，兩三角形面積相加即為三角形CDM的面積，因?yàn)槿�角形CMN和三角形DMN的高之和為定值，所以當(dāng)三角形的底MN取最大值時(shí)三角形CDM的面積最大．
解答：解：（1）由題意，可設(shè)所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，
∴，
∴，（2分）
∴所求函數(shù)關(guān)系式為：，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）．
當(dāng)x=5時(shí)，，
當(dāng)x=2時(shí)，，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上；

（2）設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，
解得：．
∴，（6分）
∵M(jìn)N∥y軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t．
則，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有菱形的性質(zhì)和三角形的面積求法．本題的難點(diǎn)是第二問，學(xué)生要弄懂△CDM面積的最大值滿足的條件．