Question

13．如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°，AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，垂足為F，交AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BC，交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DG．
（1）求證：BE=CD；
（2）求證：GD=GE．

Answer 1

分析 （1）先由CF⊥AD得到∠AFC=90°，再利用等角的余角相等得到BE⊥BC，然后根據(jù)“ASA”可證明△ACD≌△CBE，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到CD=BE；
（2）由于CD=BD，CD=BE，則BD=BE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠CBA=45°，則∠EBG=45°，然后根據(jù)“SAS”可證明△DBG≌△EBG，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵CF⊥AD，
∴∠AFC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∵BE⊥BC，
∴∠CBE=90°，
在△ACD和△CBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{AC=CB}\\{∠3=∠2}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE；
（2）∵AD是BC邊上的中線，
∴CD=BD，
而CD=BE，
∴BD=BE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°，
而∠CBE=90°，
∴∠EBG=45°，
在△BDG和△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠DBG=∠EBG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△EBG，
∴GD=GE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．