Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分線交BC于E，連接ED．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）當∠ABC=60°，EC=BE時，證明：梯形ABCD是等腰梯形．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
同理：AB=BE，
∴AD=BE，
又∵AD∥BE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
又∵AB=BE，
∴平行四邊形ABED為菱形．

（2）證明：∵AB=BE，∠ABC=60°，
∴△ABE為等邊三角形，
∴AB=AE．
又∵AD=BE=EC，AD∥EC．
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AE=DC，
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
分析：（1）根據(jù)平行線性質和角平分線定義求出∠ABD=∠ADB，推出AB=AD，AB=BE，推出AD=BE，得出平行四邊形ABED，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（2）推出等邊三角形ABE，得出AE=AB，推出平行四邊形AECD，推出AE=CD，推出AB=CD即可．
點評：本題考查的知識點是等腰梯形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質和判定、等邊三角形的性質和判定，主要考查學生能否正確運用性質進行推理，本題綜合性比較強，是一道比較好的題目．