Question

有張圓桌放在房間角落，與兩面互相垂直的墻壁都接觸，飛來一只蟬，停在圓桌邊上的P處，沒提防圓桌中心的Q處有一只螳螂，如果P點離兩墻壁的距離分別是8cm和9cm，則螳螂捕蟬至少需走     cm的路程．（精確到整數(shù)）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，連接QD，延長DQ與AP交于C，連接PQ，求出PC的長，由CD=PB，設(shè)QD=r，表示出CQ的長，在直角三角形CPQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，取整即可得到所求的路程．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
點P是蟬的位置，點Q是螳螂的位置，且PA=9cm，PB=8cm，
由DB為圓Q的切線，得到QD⊥DB，CD=PB=8cm，
∵DC⊥AP，∴PC=（9-r）cm，
設(shè)圓Q的半徑為r，則CQ=（8-r）cm，
在直角三角形PQC中，根據(jù)勾股定理得：
PQ²=PC²+CQ²，即r²=（8-r）²+（9-r） ²，
解得：r=5或29（不合題意舍去），
則螳螂捕蟬至少需走5cm的路程．
故答案為：5．
點評：此題考查了圓的切線性質(zhì)，垂徑定理及解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．