Question

已知：把和按如圖（1）擺放（點(diǎn)與點(diǎn)重合），點(diǎn)、（）、在同一條直線上．，，，，．如圖（2），從圖（1）的位置出發(fā)，以的速度沿向勻速移動，在移動的同時(shí)，點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā)，以2 cm/s的速度沿向點(diǎn)勻速移動.當(dāng)的頂點(diǎn)移動到邊上時(shí)，停止移動，點(diǎn)也隨之停止移動．與相交于點(diǎn)，連接，設(shè)移動時(shí)間為．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？
（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻，使面積最��？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．
（3）是否存在某一時(shí)刻，使、、三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學(xué)們做題使用）

Answer 1

（1）2（2）（3）1

解析試題分析：1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.  ∴CE = CQ. 由題意知：CE = t，BP =2 t，∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .P = 10－2 t.
 ∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：當(dāng)t =" 2" s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上.    4分

（2）過P作，交BE于M，
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ .   ∴PM = .
∵BC =" 6" cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.
∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －
= = .
∵，∴拋物線開口向上.
∴當(dāng)t = 3時(shí)，y_最小=.
答：當(dāng)t = 3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm².      8分
（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.

過P作，交AC于N，
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ .  ∴ . 
∵    ∴
解得：t= 1.
(通過△QCF∽△PMF得到t= 1也可)
考點(diǎn)：相似三角形的判定
點(diǎn)評：解答本題的的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似.