【題目】如圖,CD為⊙O的直徑,弦AB垂直于CD,垂足為H,∠EAD=∠HAD.
(1)求證:AE為⊙O的切線;
(2)延長(zhǎng)AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,過(guò)D 作DE⊥AP,垂足為E,已知PA=2,PD=1,求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:連結(jié)OA,如圖所示.
∵AB⊥CD,
∴∠AHD=90°,
∴∠HAD+∠ODA=90°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
又∵∠EAD=∠HAD,
∴∠EAD+∠OAD=90°,
∴OA⊥AE.
又∵點(diǎn)A在圓上,
∵AE為⊙O的切線.
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為x,在Rt△AOP中,
OA2+AP2=OP2,即x2+22=(x+1)2,
解得:x=1.5,
∴⊙O的半徑為1.5.
∵DE⊥AP,OA⊥AP,
∴OA∥DE,
∴△PED∽△PAO,
∴ = ,即 = ,
解得:DE= .
【解析】(1)連接OA,根據(jù)垂線的定義結(jié)合角的計(jì)算,即可得出∠EAD+∠OAD=90°,從而得出OA⊥AE,再由點(diǎn)A在圓上,即可證出AE為⊙O的切線;(2)設(shè)⊙O的半徑為x,在Rt△AOP中,利用勾股定理可求出x的值,再由DE⊥AP,得出OA∥DE,進(jìn)而可得出△PED∽△PAO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出DE的長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在方格紙中,每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)長(zhǎng)度單位,三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和點(diǎn)P都在小方格的頂點(diǎn)上.要求:①將三角形ABC平移,使點(diǎn)P落在平移后的三角形內(nèi)部;②平移后的三角形的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上.請(qǐng)你在圖甲和圖乙中分別畫出符合要求的一個(gè)示意圖,并寫出平移的方法.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)當(dāng)m,n為何值時(shí),此函數(shù)是一次函數(shù)?
(2)當(dāng)m,n為何值時(shí),此函數(shù)是正比例函數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AM⊥AN,AB平分∠MAN,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥BA交AN于點(diǎn)C;動(dòng)點(diǎn)E、D同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),其中動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度沿射線AN方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)D以1cm/s的速度在直線AM上運(yùn)動(dòng);已知AC=6cm,設(shè)動(dòng)點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
(1)試求∠ACB的度數(shù);
(2)若:=2:3,試求動(dòng)點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;
(3)試問(wèn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D,E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某個(gè)時(shí)間t,使得△ADB≌△CEB?若存在,請(qǐng)求出時(shí)間t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)出理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1和∠2互為補(bǔ)角,∠A=∠D.求證:AB∥CD.
證明:∵∠1與∠CGD是對(duì)頂角,
∴∠1=∠CGD(______).
又∠1和∠2互為補(bǔ)角(已知),
∴∠CGD和∠2互為補(bǔ)角,
∴AE∥FD(_________),
∴∠A=∠BFD(_______).
∵∠A=∠D(已知),
∴∠BFD=∠D(_______),
AB∥CD(______).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,分別以頂點(diǎn)A、B、C、D為圓心,1為半徑畫弧,四條弧交于點(diǎn)E、F、G、H,則圖中陰影部分的外圍周長(zhǎng)為( 。
A.
B.
C.π
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義,如圖1,點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)M,N為線段AB的勾股分割點(diǎn).
(1)已知點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),若AM=3,MN=5,求BN的長(zhǎng)
(2)如圖2,在Rt△ABC中,AC=BC,點(diǎn)M,N在斜邊AB上,∠MCN=45°,求證:點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn);陽(yáng)陽(yáng)在解決第(2)小題時(shí)遇到了困難,陳老師對(duì)陽(yáng)陽(yáng)說(shuō):要證明勾股分割點(diǎn),則需設(shè)法構(gòu)造直角三角形,你可以把△CBN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度試試,請(qǐng)根據(jù)陳老師的提示完成證明過(guò)程.
(3)如圖3,C是線段AB上的一定點(diǎn),請(qǐng)?jiān)?/span>BC上畫一點(diǎn)D,使C、D是線段AB的勾股分割點(diǎn)
(要求:完成尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,并在右側(cè)分步寫出作圖步驟)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,∠DAB被對(duì)角線AC平分,且AC2=ABAD.我們稱該四邊形為“可分四邊形”,∠DAB稱為“可分角”.
(1)如圖2,在四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求證:四邊形ABCD為“可分四邊形”;
(2)如圖3,四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,則求∠DAB的度數(shù);
(3)現(xiàn)有四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,且AC=4,則△DAB的最大面積等于 .
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