Question

（2012•武漢模擬）要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2.25m的水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使水管頂端的坐標(biāo)為（0，2.25），水柱的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），求出此坐標(biāo)系中拋物形水柱對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫取值范圍）；
（2）如圖，在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬度為0.3m，最內(nèi)軌道的半徑為rm，其上每0.3m的弧長上安裝一個地漏，其它軌道上的個數(shù)相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏．求當(dāng)r為多少時池中安裝的地漏的個數(shù)最多？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，根據(jù)水柱高為2.25米，將點(diǎn)（0，2.25）代入拋物線解析式求a即可；
（2）根據(jù)（1）中求出的拋物線解析式求水柱落地點(diǎn)離池中心的距離，根據(jù)池中安裝地漏的個數(shù)m=內(nèi)圈裝地漏的個數(shù)×圈數(shù)，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．

解答：解：（1）如圖，依題意建立平面直角坐標(biāo)系，
∵點(diǎn)（1，3）為拋物形水柱的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，將點(diǎn)（0，2.25）代入，得
2.25=a（0-1）²+3，
解得a=-

3

4

，
因此，拋物形水柱對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

4

（x-1）²+3；

（2）當(dāng)y=0時，-

3

4

（x-1）²+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
根據(jù)實(shí)際，x=-1舍去，
所以，x=3，即水柱落地點(diǎn)離池中心3m，
設(shè)池中安裝地漏m個，依題意得
m=

2πr

0.3

•

3-r

0.3

，即m=

2π

0.09

（3r-r²）=-

2π

0.09

（r-

3

2

）²+50π，
所以，當(dāng)r=1.5時，池中安裝的地漏的個數(shù)最多．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式，根據(jù)條件求拋物線解析式，再列出池中安裝地漏個數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．