Question

（2012•茂名）如圖所示，拋物線y=ax²+

3

2

x+c經過原點O和A（4，2），與x軸交于點C，點M、N同時從原點O出發(fā)，點M以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動，點N以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，當其中一個點停止運動時，另一點也隨之停止．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）在點M、N運動過程中，
①若線段MN與OA交于點G，試判斷MN與OA的位置關系，并說明理由；
②若線段MN與拋物線相交于點P，探索：是否存在某一時刻t，使得以O、P、A、C為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A點坐標為（4，2），O點坐標為（0，0），代入求出二次函數(shù)解析式即可，進而利用y=0，求出圖象與x軸交點坐標，即可得出C點坐標；
（2）①過點A作AB⊥x軸于點B，則OB=4，AB=2，進而得出Rt△MON∽Rt△OBA，即可求出MN⊥OA；
②依題意可得：當點P是點A關于拋物線對稱軸的對稱點時，四邊形APOC為等腰梯形，得出P點坐標，及M（0，2t），N（t，0）設直線MN的解析式為y=kx+2t，將點N、P的坐標代入得求出t的值即可．

解答：解：（1）依題意，A點坐標為（4，2），O點坐標為（0，0），
代入解析式得

c=0 16a+ 3 2 ×4+c=2

，
解得：

c=0 a=- 1 4

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x；
令y=0，則有0=-

1

4

x²+

3

2

x，
解得x₁=0，x₂=6，
故點C坐標為（6，0）；

（2）①MN⊥OA，
理由如下：過點A作AB⊥x軸于點B，則OB=4，AB=2
由已知可得：

OM

ON

=

OB

AB

=

2

1

，
∴Rt△MON∽Rt△OBA，
∴∠AOB=∠NMO，
∵∠NMO+∠MNO=90°，∴∠AOB+∠MNO=90°，
∴∠OGN=90°，∴MN⊥OA，
②存在
設點P的坐標為（x，y），依題意可得：當點P是點A關于拋物線對稱軸的對稱點時，四邊形APOC為等腰梯形．
則點P坐標為（2，2），及M（0，2t），N（t，0）
設直線MN的解析式為y=kx+2t
將點N、P的坐標代入得

kt+2t=0 2k+2t=2

，
解得：

t1=0 k1=0

（不合題意舍去），

t2=3 k2=-2

，
所以，當t=3秒時，四邊形OPAC是等腰梯形．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及等腰梯形的性質和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定等知識，得出P點坐標表示出M，N坐標進而求出直線MN的解析式是解題關鍵．