Question

9．如圖，△ABC的外角平分線CP和內(nèi)角平分線BP相交于點(diǎn)P，若∠BPC=80°，則∠CAP=10．

Answer 1

分析 根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．

解答 解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD于點(diǎn)N，PF⊥BA于點(diǎn)F，PM⊥AC于點(diǎn)M，
設(shè)∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=80°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-80）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-80°）-（x°-80°）=160°，
∴∠CAF=20°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PM=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=10°．
故答案為10°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)．注意根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．