Question

如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限。其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm

（1）       若OB=6cm．

①     求點C的坐標；

②     若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；

（2）       點C與點O的距離的最大值=       cm.

 

Answer 1

解：(1)① 過點C作y軸的垂線，垂足為D，

        在Rt△AOB中，AB=12， OB=6，則BC=6，

        ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，

        又∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，

        ∴BD=3，CD=3 ．

        ② 設(shè)點A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點B向動的距離也為x,

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6 ．

∴A'O=6－x，B'O=6＋x ，A'B'=AB=12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

(6－x)²＋(6＋x)²=12²

解得，x=6(－1)

∴滑動的距離為6(－1)．

(2)設(shè)點C的坐標為(x,y)，過C作CE ⊥ x軸，CD ⊥ y軸， 垂足分別為E，D

則OE=－x，OD=y，

∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠DCB＋∠BCE=90°

∴∠ACE=∠DCB，

又∵∠AEC=∠BDC=90°，

∴△ACE ∽ △BCD

∴，即，

∴y=－x，

OC²=x²＋y²= x²＋(－x)²=4x²,

∴當︱x︱取最大值時即C到y軸距離最大時OC²有最

大值，即OC取最大值，如圖，即當C'B'轉(zhuǎn)到與y軸垂時

．此時OC=12．