Question

18．如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BAM=∠AEF；
（2）若AB=4，AD=6，cos∠BAM=$\frac{4}{5}$，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)以及垂直的性質(zhì)可得∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°，進(jìn)而可證明∠BAM=∠AEF；
（2）在直角三角形AEF中，利用已知條件可求出AE的長，因為AD的長已知，所以DE的長可用求出．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAC=90°．
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°．
∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°．
∴∠BAM=∠AEF；
（2）在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=$\frac{4}{5}$，
∴AM=5．
∵F為AM中點(diǎn)，
∴AF=2.5，
∵∠BAM=∠AEF，
∴cos∠BAM=cos∠AEF=$\frac{4}{5}$．
∴sin∠AEF=$\frac{3}{5}$．
在Rt△AEF中，
∠AFE=90°，AF=$\frac{5}{2}$，sin∠AEF=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{25}{6}$．
∴DE=AD-AE=6-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了銳角三角函數(shù)的關(guān)系以及矩形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出sin∠AEF的值是解題關(guān)鍵．