Question

4．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D是AC上的中點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，將△ABC沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)F處，連接BD，交AE于點(diǎn)G，連接FG．以下結(jié)論：①tan∠EAF=$\frac{1}{2}$；②FG∥BC；③點(diǎn)E關(guān)于FG對(duì)稱的點(diǎn)不在邊AC上；④BE=BG；⑤S_{四邊形DFEG}=S_△ADG其中正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①錯(cuò)誤，設(shè)EB=EF=FC=a，則EC=$\sqrt{2}$a，AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，因?yàn)椤螮AB=∠EAF，求出tan∠EAB即可．②正確，只要證明FG是∠AFE角平分線即可．③錯(cuò)誤．可以根據(jù)∠AFG=∠EFG進(jìn)行判斷．④正確，只要證明四邊形EFGB是菱形即可，⑤正確，只要證明$\frac{AD}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$以及△ADG∽△AEF，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解決問題．

解答 解：∵BA=BC，∠ABC=90°，AD=DC，
∴BD=DC=AD，∠C=∠CBD=∠ABD=∠CAB=45°，
∵△AEF是由△AEB翻折，
∴∠AFB=∠ABE=90°，∠EBG=∠EFG=45°，AF=AB，
∴∠AFG=∠C=45°，
∴FG∥BC，故②正確，
∵∠AFG=∠EFG=45°，
∴點(diǎn)E關(guān)于FG的對(duì)稱點(diǎn)在直線FA上，故③錯(cuò)誤，
∵∠C=45°，∠CFE=90°，
∴∠C=∠FEC=45°，
∴CF=EF，
設(shè)EB=EF=FC=a，則EC=$\sqrt{2}$a，AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，
∵∠EAB=∠EAF，
∴tan∠CAE=tan∠EAB=$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，故①錯(cuò)誤．
∵AF=AB=（$\sqrt{2}$+1）a，AB=（$\sqrt{2}$+2）a，
∴AD=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）a，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵FG∥EB，BG∥EF，
∴四邊形EFGB是平行四邊形，
∵EB=EF，
∴四邊形EFGB是菱形，
∴EB=GB，故④正確，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△AEF，
∴$\frac{{S}_{△ADG}}{{S}_{△AEF}}$=（$\frac{AD}{AF}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴S_{四邊形DFEG}=S_△ADG故⑤正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用翻折不變性是解決問題的關(guān)鍵，注意面積問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比問題，屬于中考�？碱}型．