Question

（2006•黃石）已知二次函數圖象經過兩點A（1，0）、B（5，0），且函數有最小值-1．直線y=m（x-3）與二次函數圖象交于C、D兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）證明：以CD為直徑的圓與直線y=-2相切；
（3）設以CD為直徑的圓與直線y=-2的切點為E，過點C、D分別作直線y=-2的垂線，垂足為F、G、S₁、S₂、S分別表示△CEF、△DEG、△CDE的面積．證明：S=S₁+S₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得二次函數的對稱軸為x=（1+5）÷2=3，所以此函數的頂點坐標為（3，-1），利用頂點式即可求得；
（2）此題要借助于根與系數的關系，根據題意可得點C，D是方程組的解，由勾股定理得CD的長，化簡即可證得；
（3）因為直線y=-2與以CD為直徑的圓相切，又切點為E．知，Rt△CED∽Rt△CEF，Rt△DCE∽Rt△DEG，求出S₁與S₂的值即可證得．
解答：（1）解：二次函數的解析式為y=（x-3）²-1

（2）證明：（如圖）設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD的中點為M（x，y）
即M點的坐標為
聯立方程組
得x²-（6+4m）x+5+12m=O
由根與系數關系，得
x₁+x₂=6+4m，x₁•x₂=5+12m．①
過C點作DG的垂線，垂足為H，則H點坐標為（x₂，y₁）
在Rt△CHD中．由勾股定理得
CD=
∵y₂-y₁=m（x₂-3）-m（x₁-3）=m（x₂-x₁）
∴CD=
=
將①代入上式得
CD==4（m²+1）
又M到直線y=-2的距離為a=|y-（-2）|=y+2
=2+（y₁+y₂）=2+[m（x₁-3）+m（x₂-3）]
=2+（x₁+x₂）m-3m
=2+2m²=CD
CD為直徑的圓與直線y=-2相切．（8分）

（3）證明：由（2）知直線y=-2與以CD為直徑的圓相切，又切點為E．知，
Rt△CED∽Rt△CEF，Rt△DCE∽Rt△DEG，
因此，S₁=
S₁+S₂=[]S
由勾股定理得，S₁+S₂=S．
點評：此題考查了二次函數與一次函數以及圓的綜合知識，解題時要注意數形結合思想的應用．