Question

在△ABC中，點P為BC的中點．

（1）如圖1，求證：AP＜

1

2

（AB+AC）；
（2）延長AB到D，使得BD=AC，延長AC到E，使得CE=AB，連接DE．
①如圖2，連接BE，若∠BAC=60°，請你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關(guān)系．寫出你的結(jié)論，并加以證明；
②請在圖3中證明：BC≥

1

2

DE．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建平行四邊形求解；延長AP至H，使PH=AP；則AH、BC互相平分，四邊形ABHC是平行四邊形；在△ACH中，由三角形三邊關(guān)系定理知：AH＜AC+CH，而HC=AB，AH=2AP，等量代換后即可證得所求的結(jié)論；
（2）①可按照（1）題的思路求解；過B作AE的平行線，交DE于H，連接AH、CH；易知AD=AE，若∠BAC=60°，則△ADE是等邊三角形，易證得△DBH也是等邊三角形，此時DB=BH=AC，則四邊形ABHC的一組對邊平行且相等，則四邊形ABHC是平行四邊形；由此可證得P是平行四邊形ABHC對角線的交點，且AH=2AP；下面可通過證△DBE≌△DHA得出AH=DE，從而得出DE=2AP的結(jié)論；
②分兩種情況：
一、AB=AC時，由題意易知AB=AC=BD=CE，則BC是三角形ADE的中位線，此時DE=2BC；
二、AB≠AC時，仿照①的思路，可以BC、BD為邊作平行四邊形DBCG，連接GE；易證得△ABC≌△CEG，則AB=GE；而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易知BC=DG，那么在等腰△DGE中，DG=GE，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理知：DG+GE＞DE，即2BC＞DE；
綜合上述兩種情況即可證得所求的結(jié)論．

解答：（1）證明：延長AP至H，使得PH=AP，連接BH、HC，PH；
∵BP=PC；
∴四邊形ABHC是平行四邊形；
∴AB=HC；
在△ACH中，AH＜HC+AC；
∴2AP＜AB+AC；
即AP＜

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(AB+AC)

（2）①答：BE=2AP．
證明：過B作BH∥AE交DE于H，連接CH、AH；
∴∠1=∠BAC=60°；
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE，
∴△AED是等邊三角形，
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；
∴△BDH是等邊三角形；
∴BD=DH=BH=AC；
∴四邊形ABHC是平行四邊形；
∵點P是BC的中點，
∴點P是四邊形ABHC對角線AH、BC的交點，
∴點A，P，H共線，
∴AH=2AP；
在△ADH和△EDB中，

AD=ED ∠D=∠D DH=DB

；
∴△ADH≌△EDB；
∴AH=BE=2AP；

②證明：分兩種情況：
�。┊擜B=AC時，
∴AB=AC=DB=CE；
∴BC=

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DE；
ⅱ）當AB≠AC時，
以BD、BC為一組鄰邊作平行四邊形BDGC（如圖）
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG，
∵AB=CE；
∴△ABC≌△CEG；
∴BC=EG=DG；
在△DGE中，DG+GE＞DE；
∴2BC＞DE，即BC＞

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DE；
綜上所述，BC≥

1

2

DE．

點評：此題考查了三角形三邊關(guān)系定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強，難度較大．