Question

已知：直線y=-x+m與坐標軸交于M、N兩點，點B在NM的延長線上，OC⊥OB，且OC=OB，OG⊥BC于G交MN于點A．
（1）如圖1，連NC，求證：△OCN≌△OBM；
（2）如圖2，在條件（1）下，過A點作AE⊥y軸，過B點作BF⊥x軸，垂足分別為E、F，EA、BF的延長線相交于P點，求證：AE²+BF²=AP²．
（3）如圖3，當m=2時，在條件（2）下，雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點P，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）對于直線y=-x+m，分別令x與y為0求出y與x的值，得到OM=ON，再由OB與OC垂直，OM與ON垂直，利用垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，再由OB=OC，利用SAS得到三角形ONC與三角形OMB全等即可；
（2）利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AOB與三角形NOB，利用相似得比例列出關系式，設AE=a，BF=b，AP=c，OE=t，根據(jù)三角形NOM與三角形BPA都為等腰三角形，得到t=m-a=c-b，即m+b=c+a，根據(jù)勾股定理列出關系式，整理即可得證；
（3）設B（g，2-g）（g＞0），則得到C坐標為（g-2，g），表示出中點G坐標，確定出直線OG解析式，與直線MN解析式聯(lián)立求出A的坐標，進而確定出P坐標，即可求出k的值．

解答：（1）證明：對于直線y=-x+m，
令x=0，得到y(tǒng)=m；令y=0，得到x=m，即OM=ON，
∵OB⊥OC，OM⊥ON，
∴∠BOC=∠MON=90°，
∴∠BOC-∠COM=∠NOM-∠COM，即∠NOC=∠MOB，
在△NOC和△MOB中，

ON=OM ∠NOC=∠MOB OC=OB

，
∴△NOC≌△MOB（SAS）；

（2）解：∵△MON，△BOC為等腰直角三角形，G為BC中點，
∴∠BOA=∠BNO=45°，
∵∠OBN為公共角，
∴△BOA∽△BNO，
∴

BO

BN

=

AB

BO

，即BO²=BA•BN，
設AE=a，BF=b，AP=c，OE=t，
∵△NOM和△BPA都為等腰三角形，
∴t=m-a=c-b，即m+b=c+a，
在Rt△OFB中，根據(jù)勾股定理得：OB²=（b+m）²+b²=（c+a）²+b²，
∵BA=

2

c，BN=

2

（c+a），
∴c²=a²+b²，即AE²+BF²=AP²；

（3）解：設B（g，2-g）（g＞0），
過C作CS⊥y軸，過B作BH⊥y軸，
∵∠SOC+∠BOH=90°，∠SOC+∠SCO=90°，
∴∠BOH=∠SCO，
在△SOC和△HBO中，

∠CSO=∠OHB=90° ∠SCO=∠HOB OC=OB

，
∴△SOC≌△HBO（AAS），
∴CS=OH=g-2，SO=HB=g，
∴點C可表示為（g-2，g），
∴BC中點G坐標為（g-1，1），
∴直線OG解析式為y=

1

g-1

x，
與直線MN：y=-x+2，聯(lián)立得：

y= 1 g-1 x y=-x+2

，
消去y得：

1

g-1

x=-x+2，
解得：x=

2g-2

g

，
將x=

2g-2

g

代入得：y=

1

g-1

•

2g-2

g

=

2

g

，
∴A（

2g-2

g

，

2

g

），
∴P（g，

2

g

），
則k=2．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩直線的交點坐標，以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵．