【題目】在平行四邊形ABCD中,在平行四邊形內(nèi)作以線段AD為邊的等邊△ADM,連結(jié)AM.
(1)如圖1,若點(diǎn)M在對(duì)角線BD上,且∠ABC=105°,AB=,求AM的長(zhǎng);
(2)如圖2,點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn),連接ME,點(diǎn)F是BM的中點(diǎn),,若CE+ME=DE.求證:BM⊥ME.
【答案】(1)2(2)見解析
【解析】
(1)過點(diǎn)A作AH⊥BD于H,根據(jù)∠ABC=105°和等邊三角形、平行四邊形的性質(zhì)得到△ABH為等腰直角三角形,求出AH,再得到AD的長(zhǎng),即可求出AM的長(zhǎng);
(2)在ED上取點(diǎn)G,使得CG=BM,連接EB,EG.證明△MEC≌△MGD(SAS),△EMG是等邊三角形,再得到CF∥ME即可解決問題.
(1)過點(diǎn)A作AH⊥BD于H,
∵△ADM等邊三角形,
∴∠ADM=60°,∠DAH=30°
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠CBD=∠ADM=60°
∵∠ABC=105°,
∴∠ABD=∠ABC -∠CBD=45°
∴△ABH為等腰直角三角形
在Rt△ABH中,AH2+BH2=AB2,即2AH2=18,
∴AH=3,
在Rt△ADH中,∠DAH=30°,
∴AD=2DH,DH2+AH2=AD2,即()2+32=AD2,
∴AD=2,
∴AM=AD=2;
(2)如圖,在ED上取點(diǎn)G,使得DG=CE,連接CM,MG.
∵F是BM的中點(diǎn),CF⊥BM,
∴BC=CM,
∴△BCM是等腰三角形,
∵CF⊥BM,
∴∠3=∠4,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC=AD,BC∥AD,
∵△ADM是等邊三角形,
∴DM=AD,∠ADM=60,
∵BC=CM,BC=AD,
∴CM=DM,
∴∠1=∠2,
∵CE=DG
∴△MEC≌△MGD(SAS),
∴EM=MG,
∵CE+ME=DE,CG=DE
故CE+ME=CG= CE+EG
∴ME= EG
∴EM=MG= EG
∴△EMG是等邊三角形
∴∠MEG=60
∵BC∥AD,
∴∠BCD+∠ADC=180,即∠ADM+∠1+∠2+∠3+∠4=180,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠ADM=60,
∴∠2+∠3=60°,即∠FCG=60,
∴∠MEG=∠FCG=60,
∴CF∥EM,
∵CF⊥BM
∴BM⊥ME.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐角系中,點(diǎn)是原點(diǎn),點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上,連接,,點(diǎn)在軸上,且點(diǎn)是線段的垂直平分線上一點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),連接、,若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,的面積為,用含的式子表示;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)作垂直軸,交于,若,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC為弦,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
求證:(1)DG⊥AG;
(2)AG+CG=AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形的邊長(zhǎng)為6,∠A=60°.取菱形各邊中點(diǎn)并順次連接這四個(gè)點(diǎn),得到四邊形,再取四邊形各邊中點(diǎn),順次連接得到四邊形……以此類推,則四邊形的面積是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某體育用品商店銷售一批運(yùn)動(dòng)鞋,零售價(jià)每雙240元.如果一次購(gòu)買超過10雙,那么每多購(gòu)1雙,所購(gòu)運(yùn)動(dòng)鞋單價(jià)降低6元,但單價(jià)不能低于150元.若該顧客購(gòu)買了x雙(x>10)這批運(yùn)動(dòng)鞋.
(1)設(shè)每雙運(yùn)動(dòng)鞋的價(jià)格為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該顧客購(gòu)買這種運(yùn)動(dòng)鞋支付了3600元,則該顧客買了多少雙運(yùn)動(dòng)鞋?
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【題目】如圖,在等腰中,,,是邊上的中點(diǎn),點(diǎn)、分別在、邊上運(yùn)動(dòng),且保持,連接、、.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中,下列結(jié)論:①是等腰直角三角形;②四邊形不可能為正方形;③;④四邊形的面積保持不變;⑤面積最大值為8,其中正確的結(jié)論是___________(填番號(hào)).
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【題目】如圖,已知一個(gè)由小正方體組成的幾何體的左視圖和俯視圖.
(1)該幾何體最少需要幾塊小正方體?
(2)最多可以有幾塊小正方體?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,D是邊AC的中點(diǎn),連接BD,EC⊥BC于點(diǎn)C,CE=BD.求證:△ADE是等邊三角形.
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