6.如圖:已知A(a,0)、B(0,b),且a、b滿足(a-2)2+|2b-4|=0.
(1)如圖1,求△AOB的面積;
(2)如圖2,點(diǎn)C在線段AB上(不與A、B重合)移動(dòng),AB⊥BD,且∠COD=45°,猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PB,將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE,直線AE交y軸Q,點(diǎn)Q,當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí),線段BE和線段BQ中,請(qǐng)判斷哪條線段長(zhǎng)為定值,并求出該定值.

分析 (1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a-2=0,2b-4=0,求得a=2,b=2,得到OA=2,OB=2,于是得到結(jié)果;
(2)證明:將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBF根據(jù)已知條件得到∠BDF=180°,由∠DOC=45°,∠AOB=90°,同時(shí)代的∠BOD+∠AOC=45°,求出∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°,推出△ODF≌△ODC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DC=DF=DB+BF=DB+DC;
(3)BQ是定值,作EF⊥OA于F,在FE上截取PF=FD,由∠BAO=∠PDF=45°,得到∠PAB=∠PD,E=135°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BPA=∠PED,推出△PBA≌EPD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=ED,于是得到FD+ED=PF+AP.即:FE=FA,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

解答 (1)解:∵(a-2)2+|2b-4|=0,∴a-2=0,2b-4=0,
∴a=2,b=2,
∴A(2,0)、B(0,2),
∴OA=2,OB=2,
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}×2×2$=2;

(2)證明:將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBF,
∵∠OAC=∠OBF=∠OBA=45°,∠DBA=90°,
∴∠BDF=180°,
∵∠DOC=45°,∠AOB=90°,
∴∠BOD+∠AOC=45°,
∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°,
在△ODF與△ODC中,$\left\{\begin{array}{l}{OF=OC}\\{∠FOD=∠COD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$,
∴:△ODF≌△ODC,∴DC=DF,DF=BD+BF,故CD=BD+AC.

(3)BQ是定值,作EF⊥OA于F,在FE上截取PF=FD,
∵∠BAO=∠PDF=45°,
∴∠PAB=∠PD,E=135°,
∴∠BPA+∠EPF=90°∠EPF+∠PED=90°,
∴∠BPA=∠PED,
在△PBA與△EPD中,$\left\{\begin{array}{l}{PF=PD}\\{∠BPA=∠PED}\\{PB=PE}\end{array}\right.$,
∴△PBA≌EPD,
∴AP=ED,
∴FD+ED=PF+AP,
即:FE=FA,
∴∠FEA=∠FAE=45°,
∴∠QAO=∠EAF=∠OQA=45°,
∴OA=OQ=2,
∴BQ=4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),三角形面積的計(jì)算,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

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③t=3;
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