Question

6．如圖：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b滿足（a-2）²+|2b-4|=0．
（1）如圖1，求△AOB的面積；
（2）如圖2，點(diǎn)C在線段AB上（不與A、B重合）移動(dòng)，AB⊥BD，且∠COD=45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線AE交y軸Q，點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段BE和線段BQ中，請(qǐng)判斷哪條線段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a-2=0，2b-4=0，求得a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到結(jié)果；
（2）證明：將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBF根據(jù)已知條件得到∠BDF=180°，由∠DOC=45°，∠AOB=90°，同時(shí)代的∠BOD+∠AOC=45°，求出∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，推出△ODF≌△ODC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DC=DF=DB+BF=DB+DC；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，由∠BAO=∠PDF=45°，得到∠PAB=∠PD，E=135°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BPA=∠PED，推出△PBA≌EPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=ED，于是得到FD+ED=PF+AP．即：FE=FA，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 （1）解：∵（a-2）²+|2b-4|=0，∴a-2=0，2b-4=0，
∴a=2，b=2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}×2×2$=2；

（2）證明：將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBF，
∵∠OAC=∠OBF=∠OBA=45°，∠DBA=90°，
∴∠BDF=180°，
∵∠DOC=45°，∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=45°，
∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，
在△ODF與△ODC中，$\left\{\begin{array}{l}{OF=OC}\\{∠FOD=∠COD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴：△ODF≌△ODC，∴DC=DF，DF=BD+BF，故CD=BD+AC．

（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，
∵∠BAO=∠PDF=45°，
∴∠PAB=∠PD，E=135°，
∴∠BPA+∠EPF=90°∠EPF+∠PED=90°，
∴∠BPA=∠PED，
在△PBA與△EPD中，$\left\{\begin{array}{l}{PF=PD}\\{∠BPA=∠PED}\\{PB=PE}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌EPD，
∴AP=ED，
∴FD+ED=PF+AP，
即：FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE=45°，
∴∠QAO=∠EAF=∠OQA=45°，
∴OA=OQ=2，
∴BQ=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．