Question

17．已知拋物線y=x²+（m+1）x+m-1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，則△ABC面積的最小值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得AB=$\sqrt{（m+1）^{2}-4m+4}=\sqrt{{m}^{2}-2m+5}$，再根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，顯然要求三角形ABC的面積的最小值，即求m²-2m+5的最小值，從而得解．

解答 解：
設(shè)拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），令y=0，可得x²+（m+1）x+m-1=0，
∴x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=m-1，
∴AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（m+1）^{2}-4m+4}=\sqrt{{m}^{2}-2m+5}$，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是-$\frac{1}{4}$（m²-2m+5），
∴三角形ABC的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{m}^{2}-2m+5}$×$\frac{1}{4}$（m²-2m+5），
又∵m²-2m+5的最小值是4，
∴三角形ABC的面積的最小值是1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線與x軸兩交點(diǎn)間距離的求法及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，將問題轉(zhuǎn)化為完全平方式是解題的關(guān)鍵．