Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），A（﹣1，0），B（3，0），直線l與拋物線交于A，C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；

（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A，C，F，G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）；（3）F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（，0），F4（，0）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，直接求出拋物線的解析式即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)C在拋物線上，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x（1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為P（x，x1），E（x，x22x3），用含x的式子表示出PE的長(zhǎng)度，求出PE的最大值；

（3）根據(jù)點(diǎn)G的不同位置，分為4種情況討論，點(diǎn)G在第二象限的拋物線上，點(diǎn)G在拋物線與y軸的交點(diǎn)上（兩種情況），點(diǎn)G在直線AC上方y軸右側(cè)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，求得點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），

∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵點(diǎn)C在拋物線上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，

∴y=4﹣4﹣3=﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，﹣3），

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），

則P、E的坐標(biāo)分別為P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．

∵點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方，

∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=．

∵﹣1＜0，開(kāi)口向下，﹣1≤x≤2，

∴當(dāng)x=時(shí)，PE最大=；

（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．

∵A，C，F，G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

①如圖1，四邊形AFGC是平行四邊形，此時(shí)CG∥AF，

∴AF=CG=2，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0）；

②如圖2，四邊形AGCF是平行四邊形，此時(shí)CG∥FA，

∴AF=CG=2．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖3，四邊形ACFG時(shí)平行四邊形，此時(shí)AC∥GF，

此時(shí)點(diǎn)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

故點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為3，且點(diǎn)G在拋物線上，

∴x2﹣2x﹣3=3，

解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1+，3）．

∵GF∥AC，

∴設(shè)直線GF的解析式為：y=﹣x+h，

∴﹣（1+）+h=3，

解得：h=4+，

∴直線GH的解析式為：y=﹣x+4+，

∴直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+，0）；

④如圖4，同③可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4﹣，0）．

綜上所述：存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．