Question

4．問題情境：如圖1，邊長為16cm正方形ABCD中，E為AB邊上一個動點，折疊該正方形，使D點與E點重合，點C落在點F處，折痕分別與AD、BC交于點M、N，EF與BC交于點G，連接DE交MN于點H．
自主探究：
如圖2，小穎研究了點E是AB中點的情形：
（1）請直接寫出線段AM的長度為6cm，△BEG的周長為32cm；
（2）猜想線段MN與DE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AM=x，則DM=ME=16-x，在RT△AME中利用勾股定理即可求出AM，利用△AEM∽△BGE得$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{EM}{GE}$求出BG、EG即可求出△EBG的周長．
（2）如圖2中，結(jié)論MN=DE．理由如下，作NK⊥AD于K，只要證明△ADE≌△KNM即可．

解答 （1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=16，∠A=∠B=∠ADC=90°，
∵四邊形MNFE是由四邊形MNCD翻折得到，
∴DM=ME，∠MDC=∠MEF=90°，設(shè)AM=x，則DM=ME=16-x，
∵AE=EB=8，
在RT△AME中，∵ME²=AM²+AE²，
∴（16-x）²=x²+8²，
∴x=6，
∴AM=6，ME=10，
∵∠AEM+∠BEG=90°，∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠AEM=∠BGE，
∵∠A=∠B，
∴△AEM∽△BGE，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{EM}{GE}$，
∴$\frac{8}{BG}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{10}{EG}$
∴BG=$\frac{32}{3}$，EG=$\frac{40}{3}$，
∴△EBG周長為8+$\frac{32}{3}$+$\frac{40}{3}$=32．
故答案分別為6，32．
（2）如圖2中，結(jié)論MN=DE．理由如下，
作NK⊥AD于K，
∵∠KDC=∠DCN=∠DKN=90°，
∴四邊形CDKN是矩形，
∴CD=KN=AD，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠KMN+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠KMN，
在△ADE和△KNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠KMN}\\{∠A=∠MKN=90°}\\{AD=KN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△KNM，
∴DE=MN．

點評 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形，利用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．