Question

5．已知方程ax²+bx+c=0的兩實數根是a，c（ac≠0），則方程9cx²+3bx+a=0的根的情況是（　　）

• A． 必有一根為$\frac{1}{3}$
• B． 必有一根為$\frac{1}{9}$
• C． 兩根分別為$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$
• D． 必有一根為$\frac{1}{3}$或-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據根與系數的關系得a+c=-$\frac{a}$，ac=$\frac{c}{a}$，由第二個等式可解出a=1或a=-1，討論：當a=1時，易得b=-c-1，則方程9cx²+3bx+a=0化為9cx²+3（-c-1）x+1=0，利用因式分解法解得x₁=$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$；當a=-1時，則b=c-1，方程9cx²+3bx+a=0化為9cx²+3（c-1）x-1=0，解得x₁=-$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$，于是可判斷方程9cx²+3bx+a=0一定有一根為$\frac{1}{3}$．

解答 解：∵方程ax²+bx+c=0的兩實數根是a，c，
∴a+c=-$\frac{a}$，ac=$\frac{c}{a}$，
∴a=1或a=-1，
當a=1時，1+c=-b，則b=-c-1，
∴方程9cx²+3bx+a=0化為9cx²+3（-c-1）x+1=0，
（3cx-1）（3x-1）=0，
∴x₁=$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$；
當a=-1時，則b=c-1，
∴方程9cx²+3bx+a=0化為9cx²+3（c-1）x-1=0，
（3cx+1）（3x-1）=0，
∴x₁=-$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$，
綜上所述，方程9cx²+3bx+a=0一定有一根為$\frac{1}{3}$．
故選A．

點評 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．也考查了根與系數的關系．