(2005•北京)已知:在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點A,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A兩點.
(1)試用含a的代數(shù)式表示b;
(2)設拋物線的頂點為D,以D為圓心,DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分.若將劣弧沿x軸翻折,翻折后的劣弧落在⊙D內,它所在的圓恰與OD相切,求⊙D半徑的長及拋物線的解析式;
(3)設點B是滿足(2)中條件的優(yōu)弧上的一個動點,拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P,使得∠POA=∠OBA?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)圖象,易得點A、C的坐標,代入解析式可得a、b的關系式;
(2)根據(jù)拋物線的對稱性,結合題意,分a>0,a<0兩種情況討論,可得答案;
(3)根據(jù)題意,設出P的坐標,按P的位置不同分兩種情況討論,可得答案.
解答:解:(1)解法一:∵一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點A,
∴點A的坐標為(4,0).
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A兩點,
∴c=0,16a+4b=0.
∴b=-4a(1分).
解法二:∵一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點A,
∴點A的坐標為(4,0).
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A兩點,
∴拋物線的對稱軸為直線x=2.
∴x=-=2.
∴b=-4a(1分).

(2)由拋物線的對稱性可知,DO=DA
∴點O在⊙D上,且∠DOA=∠DAO
又由(1)知拋物線的解析式為y=ax2-4ax
∴點D的坐標為(2,-4a)
①當a>0時,如圖
設⊙D被x軸分得的劣弧為,它沿x軸翻折后所得劣弧為,顯然所在的圓與⊙D關于x軸對稱,設它的圓心為D'
∴點D'與點D也關于x軸對稱
∵點O在⊙D'上,且⊙D與OD'相切,
∴點O為切點(2分)
∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO為等腰直角三角形
∴OD=2(3分)
∴點D的縱坐標為-2
∴-4a=-2,
∴a=,b=-4a=-2.
∴拋物線的解析式為y=x2-2x.(4分)
②當a<0時,
同理可得:OD=2
拋物線的解析式為y=-x2+2x(5分)
綜上,⊙D半徑的長為,拋物線的解析式為y=x2-2x或y=-x2+2x.

(3)答:拋物線在x軸上方的部分上存在點P,使得∠POA=∠OBA
設點P的坐標為(x,y),且y>0
①當點P在拋物線y=x2-2x上時(如圖)
∵點B是⊙D的優(yōu)弧上的一點
∴∠OBA=∠ADO=45°
∴∠POA=∠OBA=60°
過點P作PE⊥x軸于點E,
∴tan∠POE=
=tan60°,
∴y=

解得:(舍去)
∴點P的坐標為.(7分)
②當點P在拋物線y=-x2+2x上時(如圖)
同理可得,y=

解得:(舍去)
∴點P的坐標為(4-2,-6+4).(9分)
綜上,存在滿足條件的點P,點P的坐標為(4+2,6+4)或(4-2,-6+4).
點評:本題考查學生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力.
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(1)觀察上述圖形,連接圖2中已標明字母的某兩點,得到一條新線段與線段CE相等,請說明理由;
(2)在圖2中,過點E作⊙O的切線,交AC的延長線于點F.
①若CF=CD,求sin∠CAB的值;
②若=n(n>0),試用含n的代數(shù)式表示sin∠CAB(直接寫出結果).

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